2018年上海市黄浦区中考数学一模试卷卷参考答案与试题解析.pdf

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EF、△CBG和△DEF都是等边三角形,四边形ABCG、四边形AEDF是菱形,∴∠BAC=∠EAD=30°∴AC=AD=2×cos∠BAC×AB=2×x=x∵∠CAD=∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD=∠BAE﹣60°,∠BAF=∠BAE﹣∠EAF=∠BAE﹣60°,∴∠BAF=∠CAD在Rt△AMD中,因为DM=sin∠CAD×x,AM=coa∠CAD×x,CM=x﹣cos∠CAD×x,在Rt△CMD中,CD2=CM2+MD2,即x2=(x﹣cos∠CAD×x)2+(sin∠CAD×x)2整理,得5x2=6x2cos∠CAD∴cos∠CAD=:..∠BAF=.故答案为:【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、∠BAE的余弦转化为求∠、解答题:(本大题共题,满分78分)19.(10分)计算:2cos230°+﹣sin60°.【分析】首先代入特殊角的三角函数值,然后再计算乘方,后算乘法,最后计算加减即可.【解答】解:原式=2×()2+﹣,=+﹣,=3﹣.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,关键是掌握30°、45°、60°.(10分)用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a(x+m)2+k的形式,再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【分析】利用配方法把一般式化为顶点式,根据二次函数的性质解答.【解答】解:y=﹣2x2+6x+4=,:..=,开口向下,对称轴为直线,顶点.【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质,掌握配方法、.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是边AC的中点,CE⊥BD交AB于点E.(1)求tan∠ACE的值;(2)求AE:EB.【分析】(1)首先证明∠ACE=∠CBD在△BCD中,BC=3,CD=AC=2,∠BCD=90°,得tan∠CBD=,即可解决问题;(2)过A作AC的垂线交CE的延长线于P,利用平行线的性质列出比例式即可解决问题;【解答】解:(1)由∠ACB=90°,CE⊥BD,得∠ACE=∠CBD在△BCD中,BC=3,CD=AC=2,∠BCD=90°,得tan∠CBD=,即tan∠ACE=,(2)过A作AC的垂线交CE的延长线于P,则在△CAP中,CA=4,∠CAP=90°,tan∠ACP=,得AP=,:..又∠ACB=90°,∠CAP=90°,得BC∥AP,得AE:EB=AP:BC=8:9.【点评】本题考查解直角三角形,平行线的性质,勾股定理,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,.(10分)如图,坡AB的坡比为1:,坡长AB=130米,,点H、A、T在同一条地平线MN上.(1)试问坡AB的高BT为多少米?(2)若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处,观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°,试求建筑物的高度CH.(精确到米,≈,≈)【分析】(1)令TB=h,则AT=,根据勾股定理得出方程,求出h即可;(2)求出AD、KD,根据勾股定理得出关于x的方程,求出方程的解即可.【解答】解:(1)在△ABT中,∠ATB=90°,BT:AT=1:,AB=130米,令TB=h,则AT=,有h2+()2=1302,解得h=50(舍负),答:坡AB的高BT为50米;(2)作DK⊥MN于K,作DL⊥CH于L,:..在△ADK中,AD=AB=65,KD=BT=25,得AK=60,在△DCL中,∠CDL=30°,令CL=x,得LD=,易知四边形DLHK是矩形,则LH=DK,LD=HK,在△ACH中,∠CAH=60°,CH=x+25,得AH=,所以,解得,则CH=+25=≈89,答:建筑物高度为89米.【点评】本题考了解直角三角形和勾股定理的应用,.(12分)如图,BD是△ABC的角平分线,点E位于边BC上,已知BD是BA与BE的比例中项.(1)求证:∠CDE=∠ABC;(2)求证:AD?CD=AB?CE.【分析】(1)由BD是AB与BE的比例中项知,根据∠ABD=∠DBE证△ABD∽△DBE得∠A=∠BDE,结合∠BDC=∠A+∠ABD即可得证;(2)证△CDE∽△CBD得,根据得.【解答】证明:(1)∵BD是AB与BE的比例中项,:..∴,又BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE,∴△ABD∽△DBE,∴∠A=∠∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠CDE=∠ABD=∠ABC;(2)∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBD,∴.又△ABD∽△DBE,∴,∴,∴AD?CD=AB?CE.【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质,.(12分)在平面直角坐标系xOy中,对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+8过点(﹣2,0).(1)求抛物线的表达式,并写出其顶点坐标;(2)现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位,所得抛物线的顶点为D,与y轴的交点为B,与x轴负半轴交于点A,过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C,若AC∥BD,试求平移后所得抛物线的表达式.:..【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的表达式,并求其顶点坐标;(2)令平移后抛物线为y=﹣(x﹣1)2+k,可得顶点D和B的坐标,证明△CTA∽△DHB,根据CT=AT,即,解方程可得结论.【解答】解:(1)由题意得:,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)解得:,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)所以抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+8,其顶点为(1,9).﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(2)令平移后抛物线为y=﹣(x﹣1)2+k,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)易得顶点D(1,k),B(0,k﹣1),且k﹣1>0,由BC平行于x轴,知点C与点B关于对称轴x=1对称,得C(2,k﹣1).(7分)∴DH=k﹣(k﹣1)=1,BH=1,当y=0时,0=﹣(x﹣1)2+k,解得:x=1±,即.﹣﹣﹣﹣(8分)作DH⊥BC于H,CT⊥x轴于T,则在△DBH中,HB=HD=1,∠DHB=90°,∴∠BHD=∠ATC=90°又AC∥BD,∴∠DBC=∠BCA=∠CAT∴△CTA∽△DHB,所以CT=AT,即,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分):..解得k=4,所以平移后抛物线表达式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3.﹣﹣﹣﹣﹣(10分)【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的平移变换及二次函数的性质,掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、二次函数的性质是解题的关键,.(14分)如图,线段AB=5,AD=4,∠A=90°,DP∥AB,点C为射线DP上一点,BE平分∠ABC交线段AD于点E(不与端点A、D重合).(1)当∠ABC为锐角,且tan∠ABC=2时,求四边形ABCD的面积;(2)当△ABE与△BCE相似时,求线段CD的长;(3)设CD=x,DE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域.【分析】(1)过C作CH⊥AB与H,在Rt△BCH中,求出CH、BH,再求出CD即可解决问题;(2)分两种情形①∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA;②∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,得△BEC≌△BET;分别求解即可;(3)根据DM∥AB,得,延长构建函数关系式即可;:..【解答】解:(1)过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5﹣2=3,则四边形ABCD的面积=.(2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,①∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,于是在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5﹣3=2.②∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT==x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5﹣x,∠BHC=90°,所以BC2=BH2+CH2,即(5+x)2=(5﹣x)2+42,,当△ABE∽△EBC时,线段CD的长为2或.(3)∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=△BCH中,.则DM=CM﹣CD=,又DM∥AB,得,即,解得y=(0<x<).:..【点评】本题考查相似三角形综合题,四边形的面积,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.