高中数学求函数值域的7类题型和16种方法.docx

该【高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【28】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。求函数值域题型和方法一、:在函数 y f(x)中,与自变量 x的值对应的因变量 y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合) 。①当函数y f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y的集合;②当函数y f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在 y轴上的投影所覆盖的实数 y的集合;③当函数y f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;④当函数y f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地,常见函数的值域:,当a0时的值域为4acb2,,当a0时的值域为4a4acb2.,,余弦函数的值域为1,1,正,、求解函数值域的7种题型题型一:一次函数1、一次函数:yaxba0yaxba0的值域(最值)当其定义域为 R,其值域为R;2、一次函数yaxba0在区间m,n上的最值,只需分别求出fm,fn,并比较它们的大小即可。若区间的形式为,n或m,等时,需结合函数图像来确定函数的值域。题型二:二次函数f(x)ax2bxc(a0)的值域(最值)y4acb204aa1、二次函数f(x)ax2bxc(a0),当其定义域为R时,其值域为b2y4ac04aa2、二次函数f()ax2bx(0)在区间m,n上的值域(最值)xca首先判定其对称轴xb与区间m,n的位置关系2a(1)若bm,n,则当a0时,f(b)是函数的最小值,最大值为f(m),f(n)中较大者;2a2a当a0时,f(b)是函数的最大值,最大值为f(m),f(n)中较小者。2ab(2)若 m,n,只需比较 f(m),f(n)的大小即可决定函数的最大(小)值。2a特别提醒:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②若给定的区间形式是 a, , ,b,a, , ,b等时,要结合图像来确函数的值域;③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1:已知fx22x的定义域为3,,则fx的定义域为,1。例2:已知fx1x21x3,4,则fx的值域为1,17。,且题型三:一次分式函数的值域1、反比例函数yk(k0)的定义域为xx0,值域为yy0x2、形如:ycxd的值域:axb(1)若定义域为xRxb时,其值域为yRycaa(2)若xm,n时,我们把原函数变形为xdby,然后利用xm,n(即x的有界性),便ayc可求出函数的值域。例3:函数y2x3的值域为,13,;若x1,2时,其值域为1,1。32x13511例4:当x3,1时,函数y13x的值域4,3。(2)已知fx1x3,且2x122xx3,2,则fx的值域为,6。5例5:函数y2sinx1的值域为,13,;若x,3,其值域为1,2。3sinx252223题型四:二次分式函数ydx2excax2bx的值域c一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题:①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x是否存在;③分子、分母必须是既约分式。例6:yx2x1;1,,2x2x67例7:yx2x2;yRy1x21例8:y3x4;3,3x244例9:求函数yx1x1,的值域x22x1解:由原函数变形、整理可得:yx22y1xy10求原函数在区间1,上的值域,即求使上述方程在1,有实数解时系数y的取值范围当y0时,解得:x11,也就是说,y0是原函数值域中的一个值①当y0时,上述方程要在区间1,上有解,01即要满足f10或2y11解得:0y②82y综合①②得:原函数的值域为: 0,18题型五:形如y ax b cx d的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。例10:求函数y 2x 41 x在x 8,1时的值域 4,4题型六:分段函数的值域:一般分别求出每一分段上函数的值域, 然后将各个分段上的值域进行合并即可。 如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11:yx1x23,例12:yx24x1,5题型七:复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13:yx1x10,221x例14:yx23x40,52四、函数值域求解的十六种求法(1)直接法(俗名分析观察法) :有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 即从自变量x的范围出发,推出yf(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1:已知函数yx121,x1,0,1,2,求函数的值域。1,0,3例2:求函数yx的值域。[1,)1例3:求函数yx1x1,x≥1的值域。2,例4:求函数yx26x10的值域。1,(2)配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别yax2bxca0或Fxafx2是不能改变定义域。对于形如bfxca0类的函数的值域问题,均可使用配方法。。x分析与解答:因为2xx230,即3x1,y(x1)24,于是:0(x1)244,0y2。,4]的值域。x[4x22x4422分析与解答:由y配方得:y2x6,xxxx当1x2时,函数yx42是单调减函数,所以6y181;4x4当2x4时,函数yx42是单调增函数,所以6y7。x所以函数在区间x[1,4]的值域是6y181。443)最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解:由3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1]。 函数y在[-3,1]内是连续的,在定义域内由 3-2x-x2的最大值为 4,最小值为 0。∴函数的值域是[ 0,2]例2:求函数例3:求函数y2x,x2,2的值域。1,44y2x25x6的值域。,738(4)反函数法(逆求或反求法) :利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通过反解,用 y来表示x,再由 x的取值范围,通过解不等式,得出 y的取值范围。 对于形如cxd(a0)的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函axb数的值域。例1:求函数y12x的值域。12x解:由y12x解得2x1y,12x1y∵2x0,∴1y0,∴1y11y∴函数y12x的值域为y(1,1)。12x(5)分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数 y ax b(c0),如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为cx dayy ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为cabadc(adbc),用复合函数法来求值域。ydccx1x例1:求函数y的值域。2x51x1(2x5)717解:∵y222,2x52x522x571∵20,∴y2x5,2∴函数y1x的值域为{y|y1}。2x526)换元法(代数/三角):对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。对形如y1xt;形如yaxbcxd(a,b,c,d均为常数,ac0)的的函数,令ffx函数,令cxdt;形如含a2x2的结构的函数,可利用三角代换,令xacos,0,,或令xasin,,.22例1:求函数y2x12x的值域。解:令t12x(t0),则x1t2,2∴yt2t1(t1)2524∵当t1,即x3时,ymax5,无最小值。2845∴函数y2x12x的值域为(,]。(x25x12)(x25x4)21的值域。2分析与解答:令tx25x4x59,则t9。244ytt821t28t21t425,9时,ymin9281,值域为81当t45y|。分析与解答:由yx10xx223=x2x52,令x52cos,因为2x52022cos201cos1,[0,],则2x52=2sin,于是y2sin2cos52sin5,[,544],442sin,所以52y7。241(7)判别式法:根判别式法:对于形如ya1x2b1xc1(a1,a2不同时为0)的函数常采用此法,a2x2b2xc2就是把函数转化成关于x的一元二次方程(二次项系数不为0时),通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如::直接用不等式性质k+,先化简,再用均值不等式x2mxn例:yx111+x212x+xcyx2mxn型通常用判别式..:用判别式法二:用换元法,把分母替换掉x2x121例:y(x+1)(x+1)+11211x1x1(x+1)x1例1、:原函数化为关于x的一元二次方程(y1)x2xy10.(1)当y1时,xR,(1)24(y1)(y1)≥0,解得1≤y≤3;22(2)当y1时,x130,而1,.22故函数的值域为132,.2评注:①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零;②使用此法须在xR或仅有个别值(个别值是指使分母为0的值,处理方法为将它们代入方程求出相应的y值,若在求出的值域中则应除去此y值)不能取的情况下,否则不能使用,如求函数y1xx2,x(2,3)的值域,、求函数yxx(2x):两边平方整理得:2x22(y1)xy20(1)xR∴ 4(y 1)2 8y 0解得:12y12但此时的函数的定义域由x(2x)0,得0x2由0,仅保证关于x的方程:2x22(y1)xy20在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此,3函数的值域为22。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵0 x 2yxx(2x)0ymin0,y12代入方程(1)22242x12[0,2]解得:22242x12时,即当原函数的值域为: [0,1 2]注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。(8)函数导数与单调性法:1)确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,bfxaxa0,,可考虑利用函数的单调性解题。x例1:求函数yx12x的值域。解:∵当x增大时,1 2x随x的增大而减少, 1 2x随x的增大而增大,∴函数yx12x在定义域(,1]上是增函数。211211∴y2,22∴函数yx12x的值域为(,1]。22)若函数f在(a,b)内可导,可以利用导数求得f在(a,b)内的极值,然后再计算f在a,:求函数f(x)x33x在(5,1):显然f在(5,3)可导,且f(x)(x)0得f的极值点为x1,(1)2,f(10)(50), 函数f的值域为( 2,140).例3:求函数 fx 1 x 1 x的值域。分析与解答:因为1x01x11x与1x在定义域内的单调性不一致。现构,而1x0造相关函数gx1x1x,易知g(x)在定义域内单调增。gmaxg12,gming12,gx2,0g2x2,又f2xg2x4,所以:2f2x4,2fx2。(9)基本不等式法利用基本不等式求函数值域 , 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式ab2ab,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.如利用ab2ab求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①a0,b0;②ab或ab为定值;③。此外,有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数yxkn(k0,nN)的值域。x例1求函数yx2x1的值域.