北京市平谷区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(word版 含答案).pdf

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利用相似三角形对应边成比例解题即可.【解答】解:∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面,∴CD∥AB,∴△OCD∽△OAB,:..∴=,即=,∴AB=6(米).故答案为:,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点,且AB∥CD,BO=6,CO=8,则BE+GC的长为10.【分析】先根据切线长定理得到∴BF=BE,CF=CG,BO平分∠ABC,CO平分∠BCD,再证明∠BOC=90°,然后利用勾股定理计算出BC即可.【解答】解:∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点,∴BF=BE,CF=CG,BO平分∠ABC,CO平分∠BCD,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠BCD,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠BCD),∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠OBC+∠OCB=×180°=90°,∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,∵BO=6,CO=8,∴BC==10,∴BE+CG=,强强对函数产生了浓厚的兴趣,他利用绘图软件画出函数y=x2+:①该函数自变量x的取值范围为x≠0;:..②该函数与x轴只有一个交点(﹣1,0);③若(x,y),(x,y)是该函数上两点,当x<x<0时一定有y>y;11221212④①②③.(写序号)【分析】根据函数的图象几何函数的关系式综合进行判断即可.【解答】解:由函数y=x2+的图象可得,图象与y轴无交点,因此x≠0,即函数自变量x的取值范围为x≠0,故①正确;根据函数的图象可直观看出该函数与x轴只有一个交点(﹣1,0),也可以根据x2+=0,解得x=﹣1,因此与x轴的交点为(﹣1,0),故②正确;由函数的图象可知,当x<0时,y随x的增大而减小,因此当x1<x2<0时,有y1>y2,故③正确;根据图象可知,函数值y可以0或负数,因此④不正确;因此正确的结论有:①②③,故答案为:①②③.三、解答题(本题共52分,第17~21题,每小题5分,第22题6分,第23~25题,每小题5分)解答应写出文字说明、.(5分)计算:.【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的性质进行计算,再算加减即可.【解答】解:原式=1+2﹣2+3×=1+2﹣2+=3﹣.:..18.(5分)已知:如图,直线l,:过点P作直线PC,使得PC∥l,作法:①在直线l上取点O,以点O为圆心,OP长为半径画圆,交直线l于A,B两点;②连接AP,以点B为圆心,AP长为半径画弧,交半圆于点C;③.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明:证明:连接BP.∵BC=AP,∴=.∴∠ABP=∠BPC(同弧或等弧所对的圆周角相等)(填推理依据).∴直线PC∥直线l.【分析】(1)根据要求画出图形即可.(2)连接PB,只要证明∠ABP=∠CPB即可.【解答】解:(1)如图,直线PC即为所求作.(2)证明:连接PB.∵BC=AP,.∴=,∴∠ABP=∠BPC(同弧或等弧所对的圆周角相等),∴直线PC∥:,同弧或等弧所对的圆周角相等.:..19.(5分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…(1)求此抛物线的解析式;(2)画出函数图象,结合图象直接写出当0≤x≤4时,y的范围.【分析】(1)设交点式y=a(x+1)(x﹣3),然后把(0,﹣3)代入求出a的值,从而得到抛物线解析式;(2)先利用描点法画出函数图象,然后根据二次函数的性质,结合函数图象写出当0≤x≤4时对应的y的范围.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),把(0,﹣3)代入得﹣3a=﹣3,解得a=1,∴抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3),即y=x2﹣2x﹣3;(2)如图,:..当0≤x≤4时,y的范围为﹣4≤y≤.(5分)如图,热气球探测器显示,从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°,看这座电视塔底部B处的俯角为45°,热气球与塔的水平距离MC为200米,试求这座电视塔AB的高度.(参考数据:sin20°≈,cos20°≈,tan20°≈)【分析】根据仰角俯角定义,利用锐角三角函数即可求出结果.【解答】解:根据题意可知:∠ACM=∠BCM=90°,∠AMC=20°,∠BMC=45°,MC=200米,在Rt△AMC中,∵tan∠AMC=,∴AC=72(米),在Rt△BMC中,∵∠BCM=90°,∠BMC=45°,∴BC=MC=200(米),∴AB=AC+BC=72+200=272(米).答:.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=经过点A(2,3).:..(1)求双曲线y=的表达式;(2)已知点P(n,n),过点P作x轴的平行线交双曲线y=于点B,过点P作y轴的平行线交双曲线y=于点C,设线段PB、PC与双曲线上BC之间的部分围成的区域为图象G(不包含边界),横纵坐标均为整数的点称为整点.①当n=4时,直接写出图象G上的整数点个数是1;②当图象G内只有1个整数点时,直接写出n的取值范围.【分析】(1)将点A的坐标代入函数表达式,即可求解;(2)①当n=4时,图象G内只有一个点M(3,3);②当图象G内只有1个整数点时,除了点M外还有点N,即可求解.【解答】解:(1)将点A的坐标代入函数表达式得:3=,解得k=6,故双曲线的表达式为y=(x>0);(2)①当n=4时,图象G为PB、PB和曲线BC之间的部分,此时,图象G内只有一个点M(3,3),故答案为1;:..②当图象G内只有1个整数点时,除了点M外还有点N(如上图),故n的取值范围为:3<n≤4或1≤n<.(6分)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,E是AC上一点,以AE为直径作⊙O,若⊙O恰好经过点D.(1)求证:直线BC与⊙O相切;(2)若BD=3,,求⊙O的半径的长.【分析】(1)∥⊙O的切线;(2)连接DE,根据三角函数可得AD=5,AB=4,根据AE是⊙O的直径,可得∠ADE=90°,证明△ABD∽△ADE,对应边成比例即可得⊙O的半径的长.【解答】(1)解:连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠∵OA=OD,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OD∥AB.∵∠B=90°,∴∠ODC=90°.∴BC是⊙O的切线;(2)连接DE,:..在Rt△ABC中,∠B=90°,∵BD=3,,∴AD=5,AB=4,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠1=∠2,∠B=∠ADE=90°,∴△ABD∽△ADE,∴,∴.∴⊙.(7分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线:y=ax2﹣2ax+4(a>0).(1)抛物线的对称轴为x=1;抛物线与y轴的交点坐标为(0,4);(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上,写出抛物线的顶点坐标,并求它的解析式;(3)若A(m﹣1,y1),B(m,y2),C(m+2,y3)为抛物线上三点,且总有y1>y3>y2,结合图象,求m的取值范围.【分析】(1)根据对称轴是直线x=﹣求出对称轴即可;把x=0代入函数解析式求出y即可;(2)把点(1,0)代入y=ax2﹣2ax+4,再求出a即可;(3)先求出A、B关于直线x=1的对称点坐标,再根据二次函数的性质和已知条件得出3﹣m>m+2>2﹣m,再求出答案即可.:..【解答】解:(1)x=﹣=1,当x=0时,y=ax2﹣2ax+4=4,所以抛物线的对称轴是直线x=1,抛物线与y轴的交点坐标是(0,4),故答案为:1,(0,4);(2)∵抛物线的顶点恰好在x轴上;∴抛物线的顶点坐标为(1,0),把(1,0)代入y=ax2﹣2ax+4得:0=a×12﹣2a×1+4,解得:a=4,∴抛物线的解析式为y=4x2﹣8x+4;(3)A(m﹣1,y1)关于对称轴x=1的对称点为A′(3﹣m,y1),B(m,y2)关于对称轴x=1的对称点为B′(2﹣m,y2),若要y1>y3>y2,则3﹣m>m+2>2﹣m,解得:.24.(7分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,交AD于点F.(1)求证:∠BAD=∠CBE;(2)过点A作AB的垂线交BE的延长线于点G,连接CG,依据题意补全图形;若∠AGC=90°,试判断BF、AG、CG的数量关系,并证明.【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠C,然后利用等角的余角相等得到结论;(2)连接CF,如图,先证明∠ACF=∠ABG=∠∥FC,所以∠FCG=∠AGC=90°,再证明∠GAF=∠GFA得到AG=FG,然后利用勾股定理得到CF2+CG2=FG2,所以BF2+CG2=AG2.:..【解答】(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABD=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,∴∠BAD=∠CBE;(2)解:如图,结论:BF2+CG2=:连接CF,如图,∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∴BF=FC,∴∠FBC=∠FCB,∵∠BAG=90°,∵∠GAE+∠BAC=90°,∵∠ABG+∠BAC=90°,∴∠ACF=∠ABG=∠GAC.∴AG∥FC,∴∠FCG=∠AGC=90°,∵∠GAF+∠BAD=90°,∠GFA+∠DAC=90°,∴∠GAF=∠GFA,∴AG=FG,在Rt△FCG中,∵CF2+CG2=FG2,∴BF2+CG2=AG2.:..25.(7分)在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N,如果图形W与图形N有两个交点,我们则称图形W与图形N互为“友好图形”.(1)已知A(﹣1,1),B(2,1)则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是①;①抛物线y=x2;②双曲线;③以O为圆心1为半径的圆.(2)已知:图形W为以O为圆心,1为半径的圆,图形N为直线y=x+b,若图形W与图形N互为“友好图形”,求b的取值范围.(3)如图,已知A(,2),B(,﹣2),C(,﹣2),图形W是以(t,0)为圆心,1为半径的圆,若图形W与△ABC互为“友好图形”,直接写出t的取值范围.【分析】(1)根据题意画出图形,根据互为“友好图形”分别计算两个图形有几个交点即可判断;(2)如图4中,作OQ⊥KL于Q,⊙O于Q,根据等腰直角三角形的性质可得b的值即可判断;(3)分四种情形求出图形W与△ABC有1个交点时,t的值,即边界点,可得t的取值范围.【解答】解:(1)①如图1,当y=1时,x2=1,:..∴x=±1,∴抛物线y=x2与线段AB有两个交点为(1,1)和(﹣1,1),∴抛物线y=x2与线段AB互为“友好图形”;②如图2,当y=1时,=1,∴x=1,∴双曲线与线段AB有1个交点为(1,1),∴抛物线y=与线段AB不是互为“友好图形”;③如图3,以O为圆心1为半径的圆与线段AB有1个交点为(0,1),∴以O为圆心1为半径的圆与线段AB不是互为“友好图形”;故答案为:①;(2)如图4,作⊙O的两条切线,过点O作OQ⊥KL,:..∵OQ=1,△OQK是等腰直角三角形,∴OK=,∴b的取值范围是﹣<b<;(3)如图5,过点E作EQ⊥AC于Q,当图形W是⊙D时,⊙D与AB相切,此时t=﹣﹣1,当图形W是⊙E时,⊙E与AB相切,此时t=﹣+1,∵A(,2),B(,﹣2),C(,﹣2),∴BA∥y轴,BC∥x轴,∴∠ABC=90°,∵AB=4,BC=4,∴AC=8,∴∠C=30°,∴∠AFD=∠C=30°,∴FL=2,∴EF=2﹣1,:..∴EQ=EF=﹣>1,∴⊙E与AC相离,∴图形W与△ABC有两个交点时,t的取值是﹣﹣1<t<﹣+1,如图6,当⊙E'与AC相切时,设切点为G,连接E'G,同理得OE'=E'F﹣OF=2﹣,∴t=﹣2,当⊙D'与AC相切时,设切点为H,连接D'H,同理得OD'=OF+FD'=+2,∴t=+2,∴图形W与△ABC有两个交点时,t的取值是﹣2<t<+2;综上,若图形W与△ABC互为“友好图形”,t的取值范围是﹣﹣1<t<﹣+1或﹣2<t<+2.