北京市西城区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷及官方标准答案.pdf

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1?0,2又xsinx?0,所以g?(x)?0,?所以g(x)为(0,]上减函数,所以g(x)?g(0)?0,所以a≥02综上,实数a的取值范围为[0,??).………………15分(20)(共15分)a解:(Ⅰ)由题设,?2,所以a2??2,a2?b2?c2,所以2b2?b2??4,a2???1.………………5分84:..(Ⅱ)由题意可知,直线l斜率存在,设直线l的方程为y?k(x?2).?y?k(x?2),由?得(1?2k2)x2?8k2x?(8k2?8)??2y2?8?8k28k2?8设A(x,y),B(x,y),则x?x?,xx?.1122121?2k2121?2k2因为AD?x轴,所以D(x,0).1y?y(4?x)?直线BD方程为y?2(x?x),所以E4,??x?xx?x21?21?因为BC?x轴,所以C(x,0).2yy(4?x)因为k?1,k??xEC(x?x)(4?x)12212y(4?x)y所以k?k?21?1ECAC(x?x)(4?x)x?x21212y(4?x)?y(4?x)?2112(x?x)(4?x)212k(x?2)(4?x)?k(x?2)(4?x)?2112(x?x)(4?x)212k??[6(x?x)?2xx?16](x?x)(4?x)12122122k24k28k2?8??[??8](x?x)(4?x)1?2k21?2k221216k3k2?k2?1?1?2k2??(x?x)(4?x)1?2k2212?,A,//AD,所以S?S,△ACD△ABD所以S?S,△ECD△EAB所以S:S?1:1.………………15分△ECD△EAB(21)(共15分)A?:1,2,4,7,8A?:1,2,6,7,8A?:1,5,4,7,8A?:1,5,6,7,:(Ⅰ);;;………………分1234:..(Ⅱ)依题意,对任意i?2,3,???,N?2,有a??a?1或a?1,a??a?1或a?1,ii?1i?1i?1ii?2?aa因为A均为递增数列,所以有???,即同时满足:ii?1a?1?a?1①,a?1?a?1②,a?1?a?1③,a?1?a?1④.i?1ii?1i?2i?1i?2i?1i因为A为递增数列,因此①和②,对于③,a?1a?aa??1≤ii?1≤i?2对于④,一方面,由a?1?a?1,得a?a?2,即aa??1ii?1ii?1≤i另一方面,aa?1,i?1≥i所以a?a?1(i?2,3,???,N?2),i?1i即A从第2项到第N?1项是连续的正整数,所以a≥a?1?2,a?a?N?3a?1?2N?1,因此2≤a≤N?2,21N?12≤N2故a共有N?1种不同取值,即所有符合条件的数列A共有N?………………10分(Ⅲ)记b?a?a,依题意,b?N*(n?2,3,?,N).nnn?1n对任意i?2,3,???,N?1,有a?a??b?1或?b?1,iiii?1?a?a??,注意到0?S(A),即对任意i?{2,3,???,N?1},有0ii若a?a??b?1?0,则b?1,即b2;iiiii≥若a?a???b?1?0,则b?1,即b2,iii?1i?1i?1≥即对任意i?2,3,???,N?1,或者b≥2,?1≥所以b?b3,所以b?1??b??1≥ii?1记T?{i|a?a??b?1,i?2,3,???,N?1},1iiiT?{i|a?a???b?1,i?2,3,???,N?1},2iii?1则T?T??,且T?T?{2,3,???,N?1}.1212注意到:若存在j?T且2jN?2,即a?a???b?1,则j?1?≤≤jjj12?否则,若j?1?T,则a?a??b?1??(?b?1)??(a?a?),?1j?1j?1j?1jj因此集合T,T有以下三种情形:12①T?{2,3,???,N?1},T??.12:..对任意i?{2,3,???,N?1},有b≥2,则ia?a?(b?b?????b)?b0?(N?2)?2?1?2N?3,N123N?1N≥当且仅当:b?b?????b?2,b?1,23N?1N即A:0,2,4,???,2N?4,2N?3时,等号成立,?此时存在“强紧数列”A:0,1,3,???,2N?3,故此情形下,a的最小值为2N?3;N②T?{2,3,???,k},T?{k?1,k?2,???,N?1},其中k?2,3,???,N??T,有b≥2,对任意j?T,?1≥a?a?(b?b?????b)?b?(b?b????b)N123kk?1k?2k?3N≥0?(k?1)?2?1?(N?k?1)?2?2N?,a的最小值不小于2N?3;N③T??,T?{2,3,???,N?1}.12对任意i?{2,3,???,N?1},有b2,i?1≥a?a?b?(b?b????b)≥0?2?(N?2)?2?2N?2?2N?,a的最小值不小于2N?,a的最小值为2N?3.………………15分N