山西省太原市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析.pdf

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?13,15??15,17??17,19??19,21?订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z(单位:万件)近似地服从N(?,?2)??正态分布,其中近似为样本平均数x(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记X为外卖甲在今年3月订单数位于区间(,)的城市个数,求X的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?:..n(ad?bc)2附:①参考公式:K2?,其中n?a?b?c?d.(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)参考数据:P(K2?k)②若Z?N(?,?2),则P(????Z????)?,P(??2??Z???2?)?.【答案】(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①②100万元.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值x,根据所给今年3月订单数区间,并由x及?求得??2??,????(?Z?),再由二项分布的数学?3,5??5,7?期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,,比较即可得解.【详解】100???????2?40(1)对于外卖甲:月订单不低于13万件的城市数量为,对于外卖乙:月订单不低于13万件的城市数量为20?20?10?2?,业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200200(40?48?60?52)2且K2的观测值为k???,100?100?92?108∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①样本平均数:..x?4??6??8??10??12??14??16??18??20?????2???2??,??????(?Z?)?P(??2??Z????)11=P(??2??Z???2?)?P(????Z????)221=(?)?,2?X~B(6,),X的数学期望E(x)?6??,2?3,5?100??40②由分层抽样知,则100个城市中每月订单数在区间内的有(个),53?6,7?100??60每月订单数在区间内的有(个),5若不开展营销活动,则一个月的利润为40?4?5?60?6?5?2600(万元),100?9??5?2??2700若开展营销活动,则一个月的利润为(万元),这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用,完善列联表并计算K2的观测值作出判断,分层抽样的简单应用,综合性强,(x)?|x?2|,g(x)?a|x|?(x?3)??3?2,4?a(1)若不等式的解集为,求的值.(2)若当x?R时,f(x)?g(x),【答案】(1)a??2;(2)(??,]2【解析】试题分析:(1)求得g(x?3)??3的解集,根据集合相等,列出方程组,即可求解a的值;x?2?1x?2?1(2)①当x?0时,x?2?ax?1恒成立,②当x?0时,转化为a?,设h(x)?,xxh?x?a求得函数的最小值,:g?x?3???3ax?3??2(1)由,得,2g?x?3???3?2,4?a?0x?3??因为不等式的解集为,所以,故不等式可化为,a:..?23??2?22?a解得3??x?3?,所以?,解得a???3??4????a(2)①当x?0时,x?2?ax?1恒成立,所以a??2?1x?2?1x?0x?2?ax?1a?h?x???x?0?②当时,可化为,设,则xx?3??1,x?0?x??311h?x???1,0?x?2h?x??a??,所以当x?2时,,??1??1,x?2??x?1?综上,a的取值范围是??,.???2???,在AOB中,已知?AOB?,?BAO?,AB?4,D为线段AB的中点,△AOC是26由AOB绕直线AO旋转而成,记二面角B?AO?C的大小为?.(1)当平面COD?平面AOB时,求?的值;2?(2)当??时,求二面角B?OD??5【答案】(1)??;(2)?.25【解析】【分析】(1)平面COD?平面AOB,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】:..(1)如图,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系O?xyz,则A(0,0,23),B(0,2,0),D(0,1,3),C(2sin?,2cos?,0)?n?OD?0?xsin??ycos??0??n?(x,y,z)COD?1得?,设为平面的一个法向量,由1n?OC?0?y?3z?0?????1,取z?sin?,则n?(3cos?,?3sin?,sin?)1因为平面AOB的一个法向量为n?(1,0,0)由平面COD?平面AOB,得n?n?0所以3cos??0即212???.22?(2)设二面角B?OD?C的大小为?,当??,平面COD的一个法向量为33-2?2?2?333n?n25n?(3cos,?3sin,sin)=(-,?,)cos??12???,1333222n‖n393512??4445综上,二面角B?OD?C的余弦值为?.5【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,,A城市的竞争力、影响力日益卓著,这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”,,某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷,参与调查的对象年龄层次在25~:,空气清新200300:..,(1)根据以上数据,预测400万25~44岁年龄的人中,选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,“森林城市,空气清新”的概率;(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性;在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性;请填写下面2?2列联表,%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关?自然环境人文环境合计男女合计n?ad?bc?2附:K2?,n?a?b?c?d.?a?b??c?d??a?c??b?d?P(K2?k)【答案】(1)120(万)(2)(3)填表见解析;%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”5的选择有关【解析】【分析】(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.(2)由分层抽样的知识可得,抽取6人中,4人选择“森林城市,空气清新”,2人选择“降水充足,气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.(3)计算K2的值,对照临界值表可得答案.【详解】:..300(1)400??120(万)1000(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,其中4人是选择“森林城市,空气清新”,2人是选择“降水充足,气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2C2?C1?C44P?A??423?人选择“森林城市,空气清新”,则,.C356(3)2?2列联表如下自然环境人文环境合计男100400500女200300500合计30070010001000??100?300?200?400?21000K2????,300?700?500?%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.?x?2?2cos?,曲线C的参数方程为?,(?为参数),以坐标原点为极点,x1y?4?2sin??轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为??4sin?.2(1)把C的参数方程化为极坐标方程:1CC???0,0???2??(2)??????【答案】(1)p2?4pcos??8psin??16?0;(2)C与C交点的极坐标为?4,?,和?22,?12?2??4?【解析】【分析】(1)先把曲线C化成直角坐标方程,再化简成极坐标方程;1(2)【详解】C?x?2?2??y?4?2?4x2?y2?4x?8y?16?0?C(1)曲线的直角坐标方程为:,:..化为极坐标方程为p2?4pcos??8psin??16?0;?p?4?p?22?p2?4pcos??8psin??16?0?????(2)联立?可得:??或??,C与C交点的极坐标为?4,?,p?4sin?????12?2?????2?4???和?22,?.?4?【点睛】本题考查了参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的互化,也考查了极坐标方程的联立,,b,c分别为△ABC内角A,B,=3,csinC?asinA?bsinB,且B=60°.(1)求△ABC的面积;(2)若D,E是BC边上的三等分点,求sin?【答案】(1);(2)2434【解析】【分析】(1)根据正弦定理,可得△ABC为直角三角形,然后可计算b,可得结果.(2)计算AE,AD,然后根据余弦定理,可得cos?DAE,利用平方关系,可得结果.【详解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△=3,B=60°,所以b?atan60?33;193所以△ABC的面积为S?ab?.22(2)设D靠近点B,则BD=DE=EC=?b2?CE2?27,AD?b2?CD2?31AE2?AD2?DE229217所以cos?DAE??2AE?AD4343651所以sin?DAE?1?cos?DAE?.434【点睛】本题考查正弦定理的应用,?ABC中,设a、b、c分别为角A、B、C的对边,记?ABC的面积为S,且2S?AB?AC.:..(1)求角A的大小;4(2)若c?7,cosB?,?【答案】(1);(2)a?54【解析】【分析】(1)由三角形面积公式,平面向量数量积的运算可得bcsinA?bccosA,结合范围A?(0,?),可求tanA?1,(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinB?,利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值,由正弦5定理可求得a的值.【详解】解:(1)由2S?ABAC,得bcsinA?bcc