数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05.pdf

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x=1。k??411、、2。??arctan5§、(1)=0,=18;(2)=1,=-1;f?(0)f?(1)f?(0)f?(?)(3)=1;=1。f?(1)f?(4)42832、(1)=6x;(2)=?x2?4x?1;(3)=;y?y?y?n(xn?1?1)(x2?x?1)2(4)=1m11;(5)=x2;y????y?3x2logx?mx2xxx3ln3(6)=;(7)y?ex(cosx?sinx)=;y??18x5?5x4?12x3?12x2?2x?3(8)=xsec2x?tanx;(9)=1?cosx?xsinx;(10)y?y?x2(1?cosx)2=2;y?x(1?lnx)2(11)=1x?1;y?arctanx?2x1?x214:..(12)=2x(sinx?cosx)?(x2?1)(cosx?sinx)。y?(sinx?cosx)23、(1)=1?2x2;(2)=;(3)y?y?6x(x2?1)21?x2=(1?x2)2(1?2x?x2);y?3?(1?x)4(4)=1;(5)=cotx;(6)=2x?11;y?y?y??xlnxx2?x?1ln10(7)=1;y?1?x2(8)=1;(9)=3cos2x(sinx+cosx);y?y?x1?x2(10)=-6cos4xsin8x;y?(11)=x;(12)=;y?cos1?x2y?6xsin2x2cosx21?x2(13)=?1;y?|x|x2?1(14)=6x2;(15)=?1;(16)y?arctanx3y?1?x61?x2=sin2x;y?1?sin4x(17)=;(18)=;(19)y?ex?1y?ln2?2sinxcosx=sinx;y?xsinx(cosxlnx?)x(20)=1;(21)y?xxxxx[ln2x?lnx?]x=;y?e?x[2cos2x?sin2x]15:..(22)=4xx?x?2x?1;y?8xx?x?x?x?x(23)=;y?cos(sin(sinx))?cos(sinx)?cosx???x??x?sinx?xcosxsin???xcos??(24)=?x?sinxsinxsin2x;????y?cos??x?x??sin()?sin2??????sinx????sinx??(25)=?n??na?;(26)y???(x?a)a???k?j???j????x?a?j?1k?1k=cosx。y?|a?bsinx||cosx|4、(1)=,=,=;f?(x)3x2f?(x?1)3(x?1)2f?(x?1)3(x?1)2(2)=,=,=f?(x)3(x?1)2f?(x?1)3x2f?(x?1)3(x?2)2(3)=,=,=f?(x)3(x?1)2f?(x?1)3(x?1)2f?(x?1)3(x?1)25、(1)=;(2)=f?(x)g?(x?g(a))f?(x)g?(x?g(x))(1?g?(x))(3)=;(4)f?(x)g?(xg(a))?g(a)=。f?(x)g?(xg(x))(g(x)?xg?(x))8、(1)=;(2)=sh(shx)chx;y?3sh2xchxy?(3)=thx;(4)=1。y?y?sh2x?ch2x9、(1)=1;(2)=1;(3)y?y?1?x2x2?1=1;y?(|x|?1)1?x2(4)=1;(5)=0;(6)=|secx|。y?(|x|?1)y?y?1?x2§:..1、(1)dy,dy;(2)dy。?0????2dxt?0dx?dxt?22、(1)dy,dy。?1?0dx?dxt??t?23、(1)切线方程y=1,法线方程y=-2x;x2(2)3,3。2y?(2?2)x?2?22x?(2?2)y?2?1226、1。(???)2§、(1);f??(1)?26,f???(1)?18,f(4)(1)?0(2)33f??(0)?0,f??(1)??,f??(?1)?.42423、(1)=1;(2)=;f??(x)f???(x)4xe?x2(3?2x2)x(3)=24;(4)f(5)(x)(1?x)5=。f(10)(x)ex(x3?30x2?270x?720)4、(1)1;y???[f??(lnx)?f?(lnx)]x2(2);y???n(n?1)xn?2f?(xn)?(nxn?1)2f??(xn)(3)。y???f??(f(x))(f?(x))2?f?(f(x))f??(x)5、(1)(?1)n?1(n?1)!;(2);y(n)?y(n)?axlnnaxn(3)?(?1)n1?;y(n)?n!????n?1n?1??x(1?x)?17:..n1(?1)nn!(lnx??)(4)k;y(n)?k?1xn?1(5)n!;y(n)?(1?x)n?1(6)n,b。y(n)?(a2?bn)2eaxsin(bx?n?)??arctan00a6、(1)1。(2)y???3asintcos4t2。y???et(cost?sint)37、?3x2,x?0,?6x,x?0,f?(x)??f??(x)???3x2,x?0,?6x,x?0,??3,x>0,不存在,x=0,f???(x)?-3,x<0。8、3f?(x)2?f?(x)f???(x)。(f?1)???(y)?f?(x)59、(2),。y(2m)|?0y(2m?1)|?(?1)m(2m)!x?0x?010、(2),。y(2m)|?0y(2m?1)|?[(2m?1)!!]2x?0x?0§、当Δx=,dy=,当Δx=,dy=。2、(1)dy=;(2)dy=lnxdx;(1?4x?x2?4x3)dx(3)dy=;(4)dy=1?x2;(2xcos2x?2x2sin2x)dxdx(1?x2)218:..(5)dy=;(6)dy=dx。eax(asinbx?bcosbx)dx?sgnx1?x23、(1);(2);(3);(4)。4、%。5、弦长。总练****题6、,,当存在且f?(a)??(a)f?(a)???(a)?(a)?0,f?(a)??等于零。7、(1)=;y?ef(x)(f?(ex)ex?f(ex)f?(x))(2)=。y?f?(f(f(x)))f?(f(x))f?(x)8、(1)=??(x)?(x)???(x)?(x),y?(?2(x)??2(x)?0)(?(x))2?(?(x))2;y??0(?2(x)??2(x)?0)(2)=??(x)?(x)??(x)??(x);y??2(x)??2(x)(3)=??(x)?(x)ln?(x)???(x)?(x)ln?(x)。y??(x)?(x)ln2?(x)9、(1)=;(2)=。F?(x)3(x2?5)F?(x)6x2典型****题解答1、(§)设?x2,x?3,试确定f(x)???ax?b,x?3,的a,b值,使f在x=3处可导。解:由于当f在x=3处可导时,f必在x=319:..连续,于是必有f(3-0)=f(3+0),即9=3a+b又由于,,故f在x=3处可导f?(3)?6f?(3)?a??时,就有a=6,从而b=-9。2、(§(1)题)求函数的f(x)?x3导函数。?x3,x?0,解;因?从而f(x)?x3?0,x?0,??3?x,x?0.?当x>0时,;f?(x)?3x2当x<0时,;f?(x)??3x2当x=0时,由x3?0?x3?0,f?(0)?lim?0,f?(0)?lim?0??x??xx?0x?0得。f?(0)?0故?3x2,x?0,f?(x)???3x2,x?0.?3、(§)设函数f在点存在x0左右导数,试证明f在点连续。x0证明:由于f(x)?f(x),故由无穷小f?(x)?lim0?0?x?xx?x00量的定义有,f(x)?f(x),其中。0?f?(x)??lim??0x?x?0?x?x00于是。f(x)?f(x)?f?(x)(x?x)??(x?x)?0(x?x?)0?0000故f在是右连续的。同理可证f在是左xx0020:..连续的。因而f在连续。x04、(§(1)题)已知g为可导函数,a为实数,试求函数的导数:f(x)?g(x?g(a))解:。f?(x)?g?(x?g(a))?(x?g(a))??g?(x?g(a))5、(§(1)题)设双曲方程x=1-,y=t-,求它在点t=1处的切线方程t2t2与法线方程。解:由于dy1?2t1,且x(1)=0,y(1)|?|?dxt?1?2tt?12=0故其切线方程为y=1,法线方程为y=-2x。x26、(§(1)题)设f为二阶可导函数,求函数y=f(lnx)的二阶导数。解:1,y??f?(lnx)x111。y????f?(lnx)?f??(lnx)?(f??(lnx)?f?(lnx))x2x2x27、(§(1)题)设u(x)=lnx,v(x)=,求u。exd3(uv),d3()v解:21:..3d3(uv)??Ck(lnx)(k)(ex)(3?k)dx33k?0?3ex3ex2ex???exlnx????dx3?23??xxx??332??ex?lnx????dx3?xx2x3??u?3d3????Ck(lnx)(k)(e?x)(3?k)dx3?v?3k?0?3?1?2???e?xlnx?e?x?3????e?x?(?1)?e?xdx3???x?x2?x3??332??e?x??lnx????dx3?xx2x3?22