高考理科数学试卷(带详解).pdf

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2或x=?(-∞,-2)时,1?2x?1?f′(x)<0,f(x)单调递减;当x?(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x?0,时,f??x??0,???2?f(x)单调递减,故f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=0,在x=0处取得极大值f(0)=4.(2)?x[5x?(3b?2)]?1??x?1??0,<0?0,?f′(x)=,易知当x??时,,依题意当x??时,有5x+(3b-2)0,1?2x?3?1?2x?3?51?1?从而+(3b-2)?0,得b?.所以b的取值范围为???,.?39?9?19.[2019·江西卷]如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:AB⊥PD.(2)若∠BPC=90?,PB=2,PC=2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系,夹角的余弦值,法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系,在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明:因为ABCD为矩形,所以AB⊥⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,2326垂足为G,⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥△BPC中,PG=,GC=,3364BG=.设AB=m,则OP=PG2?OG2=?m2,3314m故四棱锥P-ABCD的体积为V=?6?m??m2?8??6m2?8m2?6m4=33322866???6m2??,所以当m=,即AB=时,四棱锥P-,???3?333?66?建立如图所示的空间直角坐标系,各点的坐标分别为O(0,0,0),B?,?,0?,?33???:..?626??6?uuur?6266?uuur?26?C?,,0?,D0,,0,P?0,0,?,故BP=?,,?,BC=(0,6,0),???3?????333333???????6266uuur?6?uuruuruuuruuruuur?x?y??0CD???,0,0?.设平面BPC的法向量n?(x,y,1),则由n?PC,n?BC得?333,??1113????6y?0uuruur1解得x?1,y?0,n?(1,0,1),同理可求出平面DPC的法向量n?(0,,1),,从而平面BPC与平面DPC夹角?的余122uuruurn?n110cos??uur1u2ur??.弦值为|n|?|n|15122??14第19题图LLJ84b???21.[2019·江西卷]随机将1,2,???,2nn?N,n…2这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为a,最大数为a;B组最小数为b,最大数为b,记??a?a,??b?b12122112(1)当n?3时,求?的分布列和数学期望;(2)令C表示事件?与?的取值恰好相等,求事件C发生的概率P?C?;??CP?C?PC(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断和的大小关系,并说明理由.【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望,概率,数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望,在求出其概率,最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当n?3时,?所有可能值为2,3,4,,B两组,不同的分组方法共有C3?20种,所以?的分布列为:6?2345P133151010513317E??2??3??4??5??.(2)?和?恰好相等的所有可能值为n?1,n,n?1,L,2n??和?恰好相等5101052且等于n?1时,不同的分组方法有2种;?和?恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;?和?恰好相:..42等且等于n?k(k?1,2,L,n?2),(n…3)时,不同的分组方法有2Ck种;所以当n?2时,P(C)??;当n…32k63时,n?22(2??Ck)12k.(3)由(2)当n?2时,P(C)?,因此P(C)?P(C),而当n…3时,P(C)?P(C),理由如下:P(C)?k?13Cn2nn?2等价于4(2??Ck)?Cn①.用数学归纳法来证明:当n?3时,①式左边?4(2?C1)?16,①式右P(C)?P(C),1o2k2n2k?1m?2边?C3?20,所以①?m(m…3)时①式成立,即4(2??Ck)?,当n?m?1时,2o62k2mk?1m?1?2m?2①式左边?4(2??Ck)?4(2??Ck)?4Cm?1?Cm?4Cm?12k2k2m?22m2m?2k?1k?1(2m)!4?(2m?2)!(m?1)2(2m)(2m?2)!(4m?1)???m!m!(m?1)!(m?1)!(m?1)!(m?1)!(m?1)2(2m)(2m?2)!(4m)2(m?1)m??Cm?1??Cm?1=①式右边.(m?1)!(m?1)!2m?2(2m?1)(2m?1)2m?2即当n?m?1时①式也成立,综合1o2o得,对于n…3的所有正整数,都有P(C)?P(C).[2019·江西卷]如图,已知双曲线C?y2?1?a?0?的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,:a2AF?OB,BFPOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;xy3(2)过C上一点P?x,y??y?0?的直线l0?yy?1与直线AF相交于点M,与直线x?相交于点N,000:a202MF证明点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值NF第20题图LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点,直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程,再利用直线与曲线的位置关系求第二问1【试题解析】(1)设F(c,0),因为b?1,所以c?a2?1,直线OB方程为y??x,直线BF的方程为a1cc1c3y?(x?c),解得B(,?),又直线OA的方程为y?x,则A(c,),k?.又因为AB?OB,所以a22aaaABa:..31x2(?)??1,解得a2?3,故双曲线C的方程为?y2?1.(2)由(1)知a?3,则直线l的方程为aa3xxxx?32x?30?yy?1(y?0),即y?0,因为直线AF的方程为x?2,所以直线l与AF的交点M(2,0),直线l3003y3y0033x?3MF24(2x?3)2x2与直线x?的交点为320,则?0,因为是C上一点,则0?y2?1.,代入上式得N(,)NF29[y2?(x?2)2]02323y000MF24(2x?3)24(2x?3)24?0?0?MF23NF29[y2?(x?2)2]x23,所求定值为?.009[0?1?(x?2)2]NF330