考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析).pdf

该【考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:,只有一个选项符合题目要求。1.(2002年试题,二)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有().A.②→③→①B.③→②→①C.③→④→①D.③→①→④正确答案:A解析:由题设,分析4条性质可知,①与④没有直接联系,从而可排除C,D,关于A和B,重点在于分析性质②和③,显然性质②更强,即f的两个偏导数连续则f可微,因此②→⑧,B也被排除,从而只有A正确,:多元函数微分学2.(1997年试题,二)二元函数在点(0,0)处().,,,,偏导数不存在正确答案:C解析:二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样,,[*]所以f(x,y)在点(0,0)处不连续;又[*]因此f(x,y)在(0,0)、分块定义的函数的连续性、:多元函数微分学3.(2012年试题,一)如果函数f(x,y)在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是().,则f(x,y)在(0,0),则,(x,y)在(0,0)(x,y)在(0,0)处可微,(x,y)在(0,0)处可微,则极限存在正确答案:B解析:f(x,y)在(0,0)处连续,如果存在,则f(0,0)=,知存在,则即fx(0,0)=0,同理可得fy(0,0)=0,再根据可微定义;(x,y)在(0,0):多元函数微分学4.(2005年试题,二)设函数其中函数φ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有().:B解析:,求偏导时,可将一个变量视为常数,:多元函数微分学5.(2010年试题,一)设函数z=z(x,y)由方程确定,其中F为可微函数,且F2’≠0,则等于()..-z正确答案:B解析:,Y求偏导数,:多元函数微分学6.(2005年试题,二)设有三元方程xy—xlny+exy=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程().=z(x,y)=y(x,z)和z=z(x,y)=x(y,z)和z=z(x,y)=x(y,z)和y=y(x,z)正确答案:D解析:根据题意,记方程为F(x,y,z)=0,其中F(x,y,z)=xy—zlny+exx一1F对x,y,z均有连续偏导数,而且可知r(0,1,1)=0由于F(X,y,z)满足偏导数的连续性,根据隐函数存在定理可知,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域该方程可确定有连续偏导数的隐函数:x=x(y,z)和y=y(x,z),:多元函数微分学7.(2008年试题,一)函数一在点(0,1)处的梯度等于().:A解析:梯度的计算公式中涉及到函数的偏导数,故先求二元函数f(x,y)的偏导数:则fx(0,1)=lfy(0,1)=(0,1)=1×i+0×j=i,:多元函数微分学8.(2001年试题,二)设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且fx’(0,0)=3,fy’(0,0)=1,则().|(0,0)=3dx+=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}正确答案:C解析:多元函数可偏导不一定可微,这一点与一元函数有本质区别,因此从题设给定(0,0)点有偏导数的条件无法推出在(0,0)点函数可微,因而A不一定成立;关于B,假设z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))点法向量存在,由定义知该法向量也应为{3,1,一1},何况题设仅给出(0,0)点处fx’,fy’的值,因此B也可排除;选项C,D是互斥的,可算出曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,1,一1}×{0,1,0}={1,0,3},:可微性与可偏导的关系,曲面的法向量及其求法,,简单地认为将偏导数代入全微分计算公式即得出全微分,:多元函数微分学9.(2011年试题,一)设函数f(x)具有二阶连续导数,且f(x)>0,f’(0)=0,则函数z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是().(0)>1,f’’(0)>(0)>1,f’’(0)(0)若z=f(x)lnf(y)在(0,0)处取极值,则A=f’’(0)lnf(0),B=0,c=f’’(0)由AC=[f’’(0)]2lnf(0)>0且A>0得f(0)>’’(0)>0,:多元函数微分学10.(2006年试题,二)设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φy’(x,y)≠(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是().’(x0,y0)=0,则f’(x’,y’)=’(x0,y0)=0,则fy’(x0,y0)≠’(x0,y0)≠0,则fy’(x0,y0)=’(x0,y0)≠0,则fy’(x0,y0)≠0正确答案:D解析:,令F(x,y,λ)=,(x,y)+λφ(x,y),则(x0,y0)满足若fx’(x0,y0)=0,由(1)→λ=0或φx’(x0,y0)=0当A=0时,由(2)得fx’(x0,y0)=0;但当A≠0时,由(2)及φy’(x0,x0)≠0,fy’(x0,y0)≠0所以A,’(x0,y0)≠0,由(1)→λ≠0,再由(2)及φy’(x0,x0)≠0→fy’(x0,y0)≠:多元函数微分学11.(2003年试题,二)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且则().(0,0)不是f9x,y)(0,0)是f(x,y)(0,0)是f(x,y)(0,0)是否为f(x,y)的极值点正确答案:A解析:根据题意,可将原式改用极坐标表示,即因此且f(pcosθ,psinθ)=+ρ4+o(ρ4)当p充分小时,f(pcosθ,psinθ),,因此f(x,y)在(0,0)点不取极值,:多元函数微分学填空题12.(2011年试题,二)设函数=:涉及知识点:多元函数微分学13.(2009年试题,二)设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,z=f(x,xy),:则解析二因f(u,v)有二阶连续偏导数,故而涉及知识点:多元函数微分学14.(2007年试题,二)设f(u,v)为二元可微函数,z=f(xy,yz).则=:涉及知识点:多元函数微分学15.(1998年试题,一)设具有二阶连续导数,则=:由题设,有解析:(xy)和φ(x+y)均为一阶复合函数,对x求导时,y被视为常数;对y求导时,x视为常数,:多元函数微分学16.(2005年试题,一)设函数单位向量则=:由题意可知根据方向导数计算公式可得涉及知识点:多元函数微分学17.(2003年试题,一)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z=0平行的切平面的方程是________________。正确答案:根据题意,先求曲面的法向量,则记F(x,y,z)=x2+y2一z,从而法向量n={Fx’,Fy’,Fz’}={2x,2y,一1},又由已知平面2x+4y—z=0的法向量为n1={2,4,一1}。则由平行关系知由此得出切点坐标为(1,2,5),因此所求切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=+4y一z=5解析:注意:若两平面平行,则它们的法向量的投影成比例,:多元函数微分学18.(2000年试题,一)曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,一2,2):设F(x,y,z)=x2+2y2+3z2一21=0,在点(1,一2,2)处的法向量为n={Fx’,Fy’,Fz’}|(1,-2,2)={2x,4y,6z}|(1,-2,2)={2,一8,12}=2{1,一4,6}则法线方程为涉及知识点:多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或算演步骤。19.(2011年试题,三)设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数,具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值正确答案:由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1,所以g’(1)=:多元函数微分学20.(2001年试题,四)设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微,且,求正确答案:由题设φ(x)=f(x,f(x,x)),则=3φ2(x).[(f1’(x,x))+f2’(x,x)).f1’(x,x)+f2’(x,x))]令x=1,则φ(1)=f(1,1))=f(1,1)=1;f1’(1f(1,1))=f1’(1,1)=2,且f2’(1,f(1,1))=3即f1’(1,1)=2且f2’(1,1)=3则解析:本题是多层复合函数的求导问题,在利用复合函求导时,=f(x,f(x,x))是由二元函元x=f(x,y),y=f(x,u)和一元函数u=x复合而成的,由复合函数的函数求导法可得:知识模块:多元函数微分学21.(2000年试题,四)设其中,具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求正确答案:由题设,从而涉及知识点:多元函数微分学22.(1999年试题,三)设y=y(x),z=z(x)是由方程x=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,:题设所给为一隐函数方程组,因此需分别对x求导,,有联立以上两式,消去,可得.(其中F2’+xf’(x+y)F3’≠0)解析:注意题设中的函数z=xf(x+y)是一阶复合函数。,应先将一个变量看成常数,:多元函数微分学23.(2006年试题,18)设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式(I)验证(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u):(I),可知(1)由对称性,得(2)(1)+(2),得(Ⅱ)因为(已证),即uf’’(u)+f’(u)=0,推出(uf’(u))’=0,积分得uf’(u)=C1由f’(1)=1推出C1=1,就有再积分得f(u)=lnu+C1由f(1)=0推出C2=(u)=lnu涉及知识点:多元函数微分学24.(1997年试题,四)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z=f(exsiny)满足方程e2xz,求f(u).正确答案:由题设代回原方程有f’’.e2xz=,推出f’’(u)一f(u)=0解此二阶常系数线性齐次微分方程,得f(u)=C2eu+C2e-u,其中C1,:多元函数微分学25.(1997年试题,四)设直线,在平面π上,而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,一2,5),求a,:根据题意,平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,一2,5)该点处曲面法向量(也就是平面π的法向量)n|(1,-2,5)=(2x,2y一1)|(1,-2,5)=(2,一4,一1),因此可得出平面π的方程为2(x一1)一4(y+2)一(z一5)=—z一5=0又由题设,直线z在平面π上,则将y=一b一x及z=x一3+a(一b一x)代入上式(平面π的方程),得2x一4b+4x一x+3+ab+ax一5=0即(5+a)x+4b+ab—2=0,从而5+a=0且4b+ab—2=0可解得a=一5且b=一2解析二本题亦可利用平面束求解,由已知,过直线l的平面束方程为x+ay一z一3+λ(x+y+b)=0其法向量为n1=(1+λ,a+λ,一1)而曲面在点(1,一2,5)处法向量n2=(2,一4,一1),则由,n1//n2,得可解出a=一5,λ=1,又由平面π经过点(1,一2,5),因此1+(一5).(一2)一5—3+1—2+b=0;可得出b=一2涉及知识点:多元函数微分学26.(2009年试题,15)求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+:由题设,令fx’(x,y)=2x(2+y2)=0,fy’(x,y)=2x2y+Iny+1=0则解得x=0,又fxx’’=2(2+y2),fxy’’=4xy,则因为且fxx’’fyy’’一(fxy’’)2>0所以题设中二元函数存在极小值涉及知识点:多元函数微分学27.(2008年试题,17):曲线C到xOy面的距离就是|x|,由曲线C的方程可得到x2+y2=2z2,x+y=5—3x;2z2=x2+y2≥即解得1≤z≤=y时一k述不等式中等号成立,将x=y代入到曲线C的方程得到故有|x|max=5,|z|min=(一5,一5,5),最近点为(1,1,1).解析二将曲线C的方程中的z消去可得整理得7x2一4xy+7y2+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求|x|的最值或求z的最值令F(x,y,κ)=z+λ(7x2一4xy+7y2+20x+20y一50),分别对x,y,λ求偏导得Fλ=7x2=4xy+7y2+20x+20y一50=0联立上述等式解得最远点为(一5,一5,5),最近点为(1,1,1).解析三设P(x,y,z)为曲线C上的任意一点,则点P到xOy平面的距离为|z|,问题转化为求z2在约束条件x2+y2一2x2=0与x+y+3z=(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+λ(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)根据几何意义知,曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点,故所求点依次为(一5,一5,5)和(1,1,1).涉及知识点:多元函数微分学28.(2007年试题,17)求函数f(x,y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0}:最大值和最小值在函数极值和边界上取得,应分类讨论:①求驻点:当(x,y)=(0,0)时f(0,0)=0;当(x,y)=(±,±1)时f(±,±1)=2②考查边界y=0,此时f(x,y)=x2,则0≤f(x,y)≤4.③考查边界x2+y2=4,y>(x,y)=x2+2y2一x2y2一λ(x2+y2一4).由得综上所述:当x=0,y=±2时,取得最大值8;当x=0,y=0时,:多元函数微分学29.(2004年试题,三)设z=z(x,y)是由x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y):由题设所给方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0,两边分别对x,y求偏导得推出令解出再由方程(1)两边分别对x,y求偏导,得方程(2)两边对y求偏导,得因此所以即知(9,3)是z(x,y)之极小值点,z(9,3)=(一9,一3)是z(x,y)之极大值点,且z(一9,一3)=一3解析二令F(xy,z)=x2一6xy+10y2—2yz一z2+18,:本题求解时易出现的错误是:当求出两组解后直接认为(9,3)为极大值点,z=3是极大值,(一9,一3)为极小值点,z=一3是极小值,虽然这是混淆了最大、最小值与极大、极小值的概念,极值其实只是函数的局部性态,极大值有可能会小于极小值,:多元函数微分学30.(2002年试题。八)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y){x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式;(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,,要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x,y):(1)由题设,结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质,则因此h(x,y)沿方向(y0—2x0)i+(x0一2y0)j方向导数为最大值,且此最大值为(2)令f(x,y)=g2(x,y)=(y一2x)2+(x一2y)2,由题意只需求f(x,y)在约束条件φ(x,y)=75一x2一y2+xy=0下的条件最大值点,由拉格朗日乘数法,记F(x,y,λ)=f(x,y)+Aλφ(x,y)=(y一2x)2+(x一2y)2+λ(75一x2一y2+xy)由可则解得λ=2或x+y==2时,可解出可能条件极值点为当x+y=0时,可解出可能条件极值点为(5,一5),(一5,5).由于,而f(x,y)|(5,-5)=f(x,y)|(-5,5)=450所以点(5,一5)和点(一5,5):许多求极值和最值的问题中,需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件,然后再求极,|gradh|为方向导数的最大值,故而将代为求|gradh|在条件x2+y2一xy=75F的条件极值,:多元函数微分学