有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍.pdf

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之间的变化规律,即假设值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来,有限体积法属于加权剩余法中的子区域法;从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义,就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理,如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程,要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足,对整个计算区域,自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法,例如有限差分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒;而有限体积法即使在粗网格情况下,也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律(既插值函数),并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值,这与有限差分法相类似;但有限体积法在寻求控制体积的积分时,必须假定值在网格点之间的分布,这又与有限单元法相类似。在有限体积法中,插值函数只用于计算控制体积的积分,得出离散方程之后,便可忘掉插值函数;如果需要的话,可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。五、FLUENT中残差的概念残差-是cell各个face的通量之和,当收敛后,理论上当单元内没有源项使各个面流入的通量,也就是对物理量的输运之和应该为零。最大残差或者RSM残差反映流场与所要模拟流场(只收敛后应该得到的流场,当然收敛后得到的流场与真实流场之间还是存在一定的差距)的残差,残差越小越好,由于存在数值精度问题,不可能得到0残差,对于单精度计算一般应该低于初始残差1e-03以3格式已调整,,,当注意具体情况,看各个项的收敛情况(比方说连续项不易收敛而能量项容易)。一般在FLUENT中可以进行进出口流量监控,当残差收敛到一定程度后,还要看进出口流量是否稳定平衡,才可确定收敛与否(翼型计算时要监控升阻力的平衡)。残差在较高位震荡,需要检查边界条件是否合理,其次检查初始条件是否合理,比如激波的流场,初始条件的不合适会造成流场的振荡。有时流场可能有分离或者回流,这本身是非定常现象,计算时残差会在一定程度上发生振荡,这是如果进出口流量是否达到稳定平衡,也可以认为流场收敛。另外fluent缺省采用多重网格,在计算后期将多从网格设置为0可以避免一些波长的残差在细网格上发生震荡。六、多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类,一类是频率变化较缓慢的低频分量;另一类是频率高,摆动快的高频分量。一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减,但对那些低频分量,迭代法的效果不是很显著。高频分量和低频分量是相对的,与网格尺度有关,在细网格上被视为低频的分量,在粗网格上可能为高频分量。多重网格方法作为一种快速计算方法,迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组,其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格,不同疏密的网格消除不同波长的误差分量,首先在细网格上采用迭代法,当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑,则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量,这样逐层进行下去直到消除各种误差分量,再逐层返回到细网格上。目前两层网格方法从理论上已证明是收敛的,并且其收敛速度与网格尺度无关[哈克布思,1988]。多重网格法是迭代法与粗网格修正的组合,经过证明迭代法可迅速地将那些高频分量去掉,粗网格修正则可以帮助消除那些光滑了的低频分量,而对那些高频分量基本不起作用。在多重网格计算中,需要一些媒介把细网格上的信息传递到粗网格上去,同时还需要一些媒介把粗网格上的信息传递到细网格上去。限制算子Iih(i-1)h是把细网格i-1层上的残余限制到粗网格i层上的算子,最简单的算子是平凡单射,另外还有特殊加权限制;插值算子Iih(i-1)h是把粗网格i层上的结果插值到细网格i-1层上的算子,一般采用线性插值或完全加权限制算子。七、近似求解的误差估计办法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。外推法是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。由Richardson所发展起来的外推方法,可以利用在不同疏密网格上得出的结果估计相应的收敛解,可以估计所用离散方法截断误差的阶数,可以估计所得数值计算的截断误差。该方法有很大的局限性,不能简单地用于复杂湍流流动;并且在数值计算中数值解必须单调地趋近于其收敛值。而文献提出的单网格后向误差估计思想,在采用有限元法FEM,有限容积法FVM时均有应用,并且还用于网格优化程序,但该方法也不能用于复杂湍流流动的数值分析。八、不完全迭代误差分析所谓不完全迭代误差,是指由数值计算所得出的当前解与在同一套网格上离散方程的精确解之间的偏差,亦即迭代终止时离散方程的解与精确解的偏差。由于离散方程采用迭代方法求解时不可能绝对满足收敛性,必须在一定的条件满足后停止迭代。这种用以判断迭代收敛的条件很多,一般分成两大类1)规定相邻两次迭代的解的相对偏差小于允许值;(2)规定离散方程的余量小于一定值。4格式已调整,,,第一种判别指标常常不能真正反映迭代收敛的程度。总之,各种收敛范数指标是值得推敲的。另外有三种不同的收敛方式:1单调收敛;2振荡收敛;3发散。对于情形1,采用广义Richardson插值方法估计误差及不确定度;对于情形2,则结果振荡的上下边界是最好的误差估计;情形3,误差与不确定度无法估计。如何将各类情形统一分析,或者结合收敛指标及迭代误差探讨数值系统误差,则还有待研究。九、普朗特混合长普朗特认为,流体质点在y方向脉动的结果,由一个流体层跃入另一层,脉动过程经过一段不与其他质点相碰撞的距离l,以它原来的动量和新位置周围的质点混合,完成动量交换,l称为混合长度或自由行程。一般湍流脉动的长度标尺不等于混合长度。控制方程离散化的方法:Taylor级数法、多项式拟合法、控制容积法。其中Taylor级数法和控制容积法最为重要。Taylor级数法的基本思路:借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式;将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替;整理化简。Taylor级数展开法-又分为等步长和非均匀步长展开。控制容积法定义:将控制方程在控制容积上积分从而得到离散化方程的离散具体步骤:将控制方程在控制容积上积分;假定适当的分布函数(distributionfunction)阶梯分布:控制容积上均匀分布(为一常数),控制容积代表点(节点)处的值为分布值线性分布:节点间线性分布梯形分布主要用于:计算控制容积上待求变量的值,源项,非导数项,非稳定项。线性分布主要用于待求变量的梯度值,控制界面处待求变量值。关于两种方法的进一步说明CV法着眼于控制容积上流的平衡,在CV尺寸的选择上更加灵活;Taylor法着眼于节点上的微分平衡。CV需要假定待求变量的分布函数;Taylor法不需要分布函数。共同点:用节点上待求变量的数值作为控制容积上待求变量的代表,CV法中的分布函数——仅存在于推导过程之中。结论:CV法与Taylor级数法同属于有限差分法的范畴。关于Controlvolumemethod或Finitevolumemethod与Taylor级数展开法关系的争论,有人将之归为不同的方法。殊途同归:起点不同,落脚点完全一样。主要差分格式几乎都可以用Taylor级数展开法得到。二阶Taylor级数:相当于3点上按抛物分布;二阶CV:节点间按线性分布。Taylor级数法、控制容积法精度上并无实质上的优劣之分,但是,CV法简捷,物理概念清楚,得到广泛应用(尤其是在NumericalHeatTransfer中)。不同的离散化方法会得到不同的离散化方程,合理的离散化方程应该起码满足下述3个方面的要求:数学上与原方程相容,物理上能给出合理的解,计算上能节约时间。Patankar从物理观点出发,提出了判定差分格式好坏的4个基本原则,具有重要指导意义。。要求同一时间通过同一控制面的流应该相等。:方程中相邻节点待求变量前的系数必须同号。。,要求:源项的斜率必须小于等于0。十、离散格式插值方式常成为离散格式就我们比较熟悉的离散格式来讨论一下。中心差分格式:就是界面上的物理量采用线性插值公式来计算,即取上游和下游节点的算术平均值。它是条件稳定的,在网格Pe数小于等于2时稳定。在不发生振荡的参数范围内,可以获得较准确的结果。如没有特殊声明,扩散项总是采用中心差分格式来进行离散。一阶迎风格式:即界面上的未知量恒取上游节点(即迎风侧节点)的值。这种迎风格式具有一阶截差,因此叫一阶迎风格式。无论在任何计算条件下都不会引起解的振荡,是绝对稳定的。但是当网格Pe数较大时,扩散严重,为避免此问题,常需要加密网格。研究表明,在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内,在相同的网格节点数条件下,采用中心差分的计算结果要比采用一阶迎风格式的结果误差小。混合格式:综合了中心差分和迎风作用两方面的因素,当|Pe|<2时,使用具有二阶精度的中心差分格式;当|Pe|≥2时,采用具有一阶精度但考虑流动方向的一阶迎风格式。该格式综合了中心差分格式和一阶迎风格式的共同的优点,其离散系数总是正的,是无条件稳定的。计算效率高,总能产生物理上比较真实的解,但缺点是只有一阶精度。二阶迎风格式:二阶迎风格式与一阶迎风格式的相同点在于,二者都通过上游单元节点的物理量来确定控制体积界面的物理量。但二阶格式不仅要用到上游最近一个节点的值,还有用到另一个上游节点的值。它可以看作是在一阶迎风格式的基础上,考虑了物理量在节点间分布曲线的曲率影响。在二阶迎风格式中,只有对流项采用了二阶迎风格式,而扩散项仍采用中心差分格式。二阶迎风格式具有二阶精度的截差。QUICK格式:是“对流项的二次迎风插值”,是一种改进离散方程截5格式已调整,,,通过提高界面上插值函数的阶数来提高格式截断误差的。对流项的QUICK格式具有三阶精度的截差,但扩散项仍采用二阶截差的中心差分格式。对于与流动方向对齐的结构网格而言,QUICK格式将可产生比二阶迎风格式等更精确的计算结果。QUICK格式常用于六面体(二维中四边形)网格。对于其它类型的网格,一般使用二阶迎风格式。6格式已调整,word版本可编辑.