数学史三大难题.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..古希腊的成绩:欧氏几何最初的几何概念,来源于生活。自从人类有了意识,人类所接触的物体,都为咱们提供了这些概念的来源。尤其是古代的经活动,包括土地的丈量(用来决定税收,古代是按照土地的大小来纳税的),各类衡宇的建造,各类物品工具的制造,使得人们有了几何概念的大体雏形。目前较为一致的观点是,一个较为系统的几何学的产生是从古代埃及进展起来的(由于尼罗河水的按期泛滥冲垮农田,人们为了从头丈量土地,产生了“测地术”,英文中的,geometry一词中的“geo-”有大地的意思,而“-metry”又有测量的意思,而中文中的“几何”则是“geo-”的译音。)虽然几何学的产生起源于古代的埃及而从科学进展的历程来看,数学的进展,真正从一门比较完善学科学科的形成来讲,几何学的进展较为迅速,而且也较早形成一个完整的学科体系。对于几何概念的科学,能够追溯到古希腊文明。泰勒斯,比达格拉斯的老师,被誉为世界上第一个科学家和数学家,对那时从经验得来的事实进行了理论解释,朝几何学的系统化迈出了第一步。他研究了图形全等、图形相似的概念,将实际的经验归纳为抽象的原理,使得原来的经验,能够有更广漠的应用。他还提出了一个逻辑推理系统。而物理空间的提出,成为以后几何研究的一个重要内容。研究了平方数、三角形数。更重要的一个发现是比达格拉斯定理,也就是中国古代的勾股定理:直角三角形的两个直边长度的平方和,等于斜边长度的平方。在研究正方形对角线长度时,比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。这已经很接近无理数的概念,可惜他放弃了,只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。《几何原本》集当时几何学研究的大成,对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号,使得几何学便于交流。同时,《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统:基于有限的公理,一门学科中其他的定理都可以被推导出来。《几何原本》奠定了经典几何的基础,现在我们称之为欧氏几何。《几何原本》对人类科学发展的影响,是非常巨大的。作为经典的数学理论,统治了数学2000年。欧洲中世纪的文艺复兴,就是以研究和恢复《几何原本》开始的。在欧几里德的《几何本来》以后,随着古希腊文明的衰落,几何学的进展被打断了。实际中存在着各类各样的几何形状,曲和直是最大体的图形特征。相应地,人类最先会画的大体几何图形就是直线和圆。画直线就得利用一个边缘平直的工具,画圆就得利用一端固定而另一端能旋转的工具,这就产生了直尺和圆规。:..古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就可以画出各类知足要求的几何图形,因此,古希腊人就规定,作图时只能有限次地利用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法。漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地通过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人碰到了令他们百思不得其解的三个作图问题。(先出三张图片)那个看似平淡无奇的几何问题,吸引了许许多多的数学家。从古希腊最伟大的数学家阿基米德到笛卡尔、牛顿......都纷纷那起了直尺和圆规来检查自己的智力,但都失败了,两千连年来,一代又一代的数学家和数学爱好者为那个问题绞尽脑汁,从初学几何的少年到天才的数学家,没有任何人冲出那个迷宫。例如阿基米德、帕普斯等人都发觉过三等分角的好方式,解决立方倍积问题的勃洛特方式等等。可是,所有这些方式,不是不符合尺规作图法,即是近似解答,都不能算作问题的解决。其间,数学家还把问题作各种转化,发觉了许多与三大难题紧密相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就如此绞尽了很多人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?这三个题目看起来并非困难,为何成为希腊数学三大难题呢?实际上,所谓难题是相对于必然条件来讲的,离开条件限制,,希腊数学家要求只运用直尺(没刻度)和圆规来解决,这正是难点之所在。因为对作图的重视是希腊几何学的一大特色。一个图形必需构造出来,不然就不能成为几何学的研究对象。三大难题是:,二倍立方又叫做求一立方体之边,使其体积等于已知边长的立方体的二倍,那个问题等价为用尺规做出长度来,,,或运用别的数学方式,解决那个问题是不难的.(补充)违规解法::..,,可是不是任何整系数代数方程的根,因此不能用尺规做出,那个严格的证明是1882年由德国数学家林德曼作出的。“任意”二字上,,,抛开尺规限制,?一般解释是,希腊人要求逻辑简单明了。直线和圆周是最大体的几何图形,把所有的几何图形化成这两种大体几何图形的组合,,法国数学家旺策尔(PierreL。Wantzel)证明了三等分任意角和立方倍积问题都是尺规作图不能问题。对于三等分任意角问题,他仅以600角为例进行证明。如图4所示,设∠QOP=600,并设OP的长度为1。假定三等分600是可能的,设∠ROP=200,那么OS=cos200是可尺规作图的。又二cos600=4cos3200一3cos200=令x=cos200,取得方程8x3一6x一1=0。于方程8x3一6x一1=0的有理根只能是士1、。经查验发觉他们都不是方程的根,因此方程8x3一6x一1=0没有有理根,于是可知它的任何一个根都不能用尺规作出,与x=cos200是可尺规作图的矛盾。所以仅用尺规三等分600角是不可能的。故事:相传有一年,安静的爱琴海的第罗斯岛上,降临了一场大瘟疫,几天时刻内,岛上的许多人就被瘟疫夺取了生命,惨不忍睹,幸存的人吓得战战兢兢,毫无办法,纷纷躲进圣庙,期求神灵保佑自己和家人。人们的祈求和哀嚎声并没有感动上苍,相反,瘟疫仍在蔓延,死去的人越来越多。他们不知什么事情触怒了神灵。心城的人们日夜匍匐神庙的祭坛前,请求神灵的宽容和饶恕。悲惨的现实使人们的心灵受到了极大的创伤,泪珠和汗滴交织在一起,使神坛前面一片湿润。许多人在神坛前就到下了。据说,神终于被感化了,并叫巫师传达了旨意:“第罗斯人要想活命,必须将圣庙中的祭坛加大一倍,并且不能改变祭坛的形状。”活着的人好象得到了救:..命的灵丹妙药,马上就量好祭坛(长方体)的长、宽、高,连夜请工匠把长宽高加大一倍的新祭坛造好了,送进了圣庙。人们好象完成了一项光荣的使命,等待神的宽恕,然而,时间一天天过去了,瘟疫更加疯狂肆虐,人们的思想再次陷入极度的痛苦之中。在神坛前,人们说道:“尊敬的神啊,你饶恕我们第罗斯人吧,我们已经按照你的旨意办了,将神坛加大了一倍......”。后来,巫师再次传达了神的旨意,巫师冷冷地说:“你们没有满足神的要求,你们没有将祭坛加大一倍,而是加大7倍,神灵将继续严惩你们......”?聪明的人们终于明白了其中的道理,他们的确将祭坛加大为原来的8倍。但,在原来的基础上如何将祭坛加大一倍呢?第罗斯人经过长时间的思考,无法解决,只好派人到首都雅典去请教当时最著名的学者伯拉图。伯拉图经过长时间的思考,也无法解决,他搪塞说:“由于第罗斯人不敬几何学,神灵非常不满,才降临了这场灾难。”这个悲惨的故事,当时是人们虚构的,但其中提到的数学问题却是几何三大作图难题之一的立方倍积问题,另外两个问题是“三等份角问题”以及“化圆为方的问题”。无数次的失败,使人们逐渐怀疑这个问题是否能够用直尺和圆规所能解决,法国数学家闻脱兹尔在1837年,首先从理论上证明了三等份任意角是无法用尺规完成的。最终使人们走出了这座迷宫,之后他又证明了:只用尺规解决立方倍积问题也是不可能的。只是后者的证明较繁琐,不够清晰。后来,德国数学家克莱因给出了一个简单而又无懈可击的证明。化圆为方的问题,首先是公元前5世纪,古希腊数学家安拉克萨哥拉研究的,有一次,他对别人说:“太阳并不是一尊神,而是像那样大的一个火球。结果他得到亵渎神灵的罪名,进了牢房,为了打发寂寞无聊的铁窗生活,他思考了这样的一个问题:“怎样作出一个正方形,使它的面积与一个圆的面积相等?”当然,他失败了,两千多年来无数数学家也都失败了。为什么他们都失败了呢?不妨来分析一下,设一个正方形的边长为a,一个圆的半径为r,要使其面积相等,即:a2等于(派)r2,得到a=根号(派)乘以r,只要用尺规作出(派)r,要作(派)r,只要考虑(派)是否为有理数,是有理数就能作出a,不是有理数就不能。(派)不是有理数,这是由数学家林得曼首先证明的,从而确认化圆为方是不能用尺规作图解决的,:设角O为给定的一角。以O为圆心,任意长r为半径用圆规做圆,交两边于A,B(图一)。不变圆规(即两圆规脚之距离仍然保持r长),用两圆规脚在直尺上刻划两点C,D,则CD长为r。用直尺,使C点保持在BO的延线上,D点保持在圆上,调整直尺的位置,直到A点也在直尺上。做OE平行AC,则OE为角AOB的三等分线之一。证明:联OD,则CD=OD=OA=r,所以角C=角DOC,角OAD=ODA。由“三角形一外角等于其两内角和”的定理知角AOB=C+OAD=C+ADO=C+C+DOC=3C=3EOE,得证。例一有什么毛病?EOB确实等于三分之一AOB!但这种解法是违规的。原来所谓用直尺及圆规做图是禁止在直尺上刻划的。如果没有这样的规定,则三等分任意角,如例一所示,是:..可能的。例二:设角O为已知。以O为圆心,任意长r为半径做弧交角O两边于A,B(图二)。做角O的平分线OC。以OC为准线,B为核心做双曲线PQR使曲线上任一点R到B的距离为到OC距离的两倍。若双曲线交弧于Q,则QOB=AOB/3。证明:联QB。做QD垂直QC及OE垂直QB。因QOB为等腰角形,所以OE平分QOB,也平分QB,故得QD=QB/2=QE,因此DOQ全等QOE。由此可知DOQ=QOE=DOB/3=AOB/6,而得QOB=AOB/3。例二有什么毛病?毛病出在用了辅助线PQR。如果只用直尺三及圆规,双曲线PQR是做不出来的例三:给定一角AOB,咱们很容易把它二等分,四等分,八等分,……。做C1OB=AOB/4,C2OC1=AOB/16,…,CnOC(n-1)=AOB/4^n,会趋近一条定直线OC,则COB=AOB/3。(图三)证明:COB=(/4+1/16+1/64+```1/4^N)AOB=1/4*(1/[1-1/4])AOB=AOB/3最后第二个等式由几何级数的公式可得。例三又如何?理论上OC是存在的,但在有限步骤内是做不到的。几何三大难题中所谓用直尺及圆规做图是要求在有限步骤内完成的,所以例三又是个违规的例子。一、尺规能作哪些图所谓尺规作图就是仅用不带刻度的直尺和普通的圆规进行作图。按照尺规的功能,咱们取得如下的作图公法:①过两已知点可作一直线;②已知圆心和半径可作一圆;⑧已知两直线相交,可求其交点;④已知一直线与一圆周相交,可求其交点;⑤已知两圆周相交,可求其交点。:..由这5条公法的有限次组合作出的图都称为尺规可作的图。例如作一条线段与己知线段相等,作一个角与已知角相等,作一条已知线段的垂直平分线,作一个已知角的角平分线,过一已知点作已知直线的平行线等都是能够尺规作图的。若是给定单位长度和长度为a、b的线段。那么长度为a十b,a一b(a>b),ab,b/a和都是能够尺规作图的,具体作法如下:已知单位长度和长度为a,b的线段。(l)作长度为a十b和a一b的线段(图略)。(2)作长度为ab的线段。AB=1,AC=b,∠EAB=450,AD=a,过点C作BD的平行线,交AE于E,则AE=ab(如图1所示)。(3)作长度为a/b的线段AE=1,AC=b,∠EAS=450,AE=a,过点E作CE的平行线,交AE于D,则AB=a/b(如图2所示)。(4)作长度为的线段(如图3所示)·由上述作图可知(1)若是给定单位长度,那么任一以正有理数为长度的线段都是能够尺规作图的。(2)若是给定单位长度,那么以数集={a十b,a、b、c∈Q}中的任一个数为长度的线段都是能够尺规作图的(其中Q是有理集)。(3)若是给定单位长度,那么以数集中的数通过有限次加、减、乘、除、开平方而得出的数为长度的线段都可用尺规作出。二、有理系数方程的根的作图由上述分析,咱们能够推出下列结论:(1)若是己知单位长1和有理数a,b,c(a、b、c>0),那么以一元二次方程ax2+bx+c=0的根为长度的线段是能够用尺规作出的。(2)若是一个有理系数的三次方程没有有理根,那么它的任何一个根都不能用尺规作出(结论(2)的证明需要较深的代数知识,咱们暂且省略它的证明)。三、古希腊尺规作图三大难题介绍(1)三等分任意角;:..(2)化圆为方:求作一正方形,使其面积等于一己知圆的面积;(3)立方倍积:求作一立方体。使其体积是已知立方体体积的两倍。关于立方倍积问题,若是设原立方体棱长为1,则体积为1,所求的立方体体积为2,边长为x。那么立方倍积的可行与否就转化为方程x3一2=0的根x是不是可尺规作图。由于方程x3一2=0没有有理根,所以x3一2=0的根不能尺规作图,即立方倍积也是不能通过尺规作图解决的。关于化圆为方问题就是探求长x=的线段是不是可尺规作图1882林德曼证明了π的超越性,它不可能由已知单位长通过有限次的四则运算和开平方取得,因此化圆为方也是不可能通过尺规作图解决的。以上咱们谈到了几何作图三大难题确实不能用尺规作图法解决,可是若是几何作图的工具不严格地限于直尺和圆规,那么上述的难题仍是能够被解决的。跋文几何作图三大难题之所以是不可能的,主要在于问题条件的约束。若是改变问题的条件,取消“直尺和圆规”的限制,它们是很容易解决的。例如,欧洲文艺振兴时期的大师达·芬奇曾给出化圆为方的一种方式:去一圆柱,使底和已知圆相等,高为半径之半,将圆柱转动一周,产生一个矩形,其面积恰好与已知圆面积相等,再将矩形化为与其等积的正方形,就可实现化圆为方。(补充)咱们明白,无论作什么图形,,,咱们只要制作一个圆柱,使它的上底和下底都和圆O一样大,,在平面上滚一周就画出一1个矩形(图10),它的一边长是,:先把矩形的长边二等分,再作线段AB,使它的长度等于矩形的长边的一半,而且延长BA到C,使AC的长度等于一个单位长(图11).所以AB的长是π,,,一代接一代地攻克三大难题,有人不由要问这值得吗?假设实际中真碰到要三等分角、立方倍积、化圆为方,只要行之有效,何必必然用尺规作图法解决?其实,数:..学研究并非必然要实用,数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚,道个明白,这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是,对三大难题的研究,反过来增进了数学的进展,出现了新的数学思想和方式,例如阿基米德、帕普斯发觉的三等分角的方式,勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题等分圆周、作正多边形,高斯关于尺规作图标准的重大发觉等。又如,微积分思想的萌芽就与化圆为方问题有关。古希腊巧辩学派在讨论化圆为方进程中,曾提出如此一个新颖的思想:用不断增加圆内接(或外切)正多边形的边数来穷竭圆的面积。这一思想被下一世纪希腊学者欧道克斯(Eudoxus,约408—355)所进展,成立了一种求曲边形的面积、曲面体的体积的方式——穷竭法。穷竭法本身已是微积分初期的雏形,后来的数学家正是从穷竭法动身,慢慢完成微积分的伟大发觉的。特别值得提到的是,在三大几何难题取得解决的同时,法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究,在1830年,19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方式,从而创建了群论。群论是近世抽象代数的基础,它是许多实际问题的数学模型,应用极为普遍,而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或****题。所以,一般以为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论,可伽罗瓦理论是在他身后14年才发表的,直到1870年,伽罗瓦理论才取得第一次全面清楚的介绍。每一次冲破不仅是人类智慧的胜利,使数学园地争奇竞艳,而且有利于科学技术的进展。超越数是不能知足任何整系数的实数。此概念恰与相反:知足形如anxn+an-1xn-1+…+a1x1+a0=0(n≥1,an≠0)的某整系数代数方程的复数。其中首项(最高次项)系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。例如是一个实代数数,它知足方程x2-2=0。再如全部有理数及3、i(=-1)等都是代数数。每一个有理数(m,n为整数,n≠0)都是代数数,因为它知足方程nx-m=0。可见代数数集包括了有理数集。但是,代数数集并非包括全数实数。代数数集是一个可数集,即所有代数数能与全部自然数成立一一对应,而实数集是不可数的无穷集,因此,必然存在不是代数数的实数。现已证明π和e这些无理数不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见,就实数集而言,实数既可按有理数和无理数分为两类,又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。两个著名的例子:π=…|的底=…能够证明超越数有无穷多个。在实数中除代数数外,其余的都是超越数。实数能够作如下分类::代数数超越数所有超越数组成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是,现今发觉的超越数极少,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。有趣的是,π和e虽不能用有限的式子表示出来,但却可用无穷级数表示:π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈Ne=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…….=∑1/(n!),n∈N高斯的发觉历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机。最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民,父亲是打短工的,母亲是泥瓦匠的女儿,都没受过学校教育。由于家境贫寒,冬天傍晚,为节约燃料和灯油,父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯,在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱,15岁:..时被公爵送进卡罗琳学院,1795年又来到哥庭根大学学****由于高斯的勤奋,入学后第二年,他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理:如果一个奇素数P是费尔马数,那么正P边形就可以用尺规作图法作出,否则不能作出。由此可以断定,正3边、5边、17边形都能作出,而正7边、11边、13边形等都不能作出。高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩,而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正17边形,以纪念他少年时代杰出的数学发现。最后的胜利解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论:尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方(指正数开平方,并且取正值)所能作出的线段或者点。2古典难题的挑战——几何三大难题及其解决标准有了,下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来,谁就是最后胜利者。1837年,23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想,证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决,宣布了2000多年来,人类征服几何三大难题取得了重大胜利。他的证明方法是这样的:假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x3-2a3=0的线段X,但些方程无有理根,若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段,但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题。用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理:若是边数N能够写成如下形式N=2t·P1·P2……Pn,其中P一、P二、…Pn都是各不相同的形如22k+1的素数,则可用尺规等分圆周N份,且只有当N能够表成这种形式时,才可用尺规等分圆周N份。按照这必然理,任意角的三等分就不可能了。1882年,德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性,从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r,正方形的边长为x,按化圆为方数代数方程的根,更不能用加减乘除开平方所表示,因此不可能用尺规法作图。从此,古典几何的三大难题都有了答案。