1995考研数一真题与解析.pdf

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a??f(x)cosdxl?2?(x?1)cosxdxnll2002n?2n??2?2?(x?1)dsinx??sinxdxn?02n?024n?24?cosx?((?1)n?1)n2?22n2?20??8?,n?2k?1,??(2k?1)2?2k?1,2,3,??0,n?2k,21222a??f(x)dx??(x?1)dx?(x?1)2?:..由于(延拓后)f(x)在[?2,2]分段单调、连续且f(?1)?(x)有展开式8?1(2n?1)?f(x)???cosx,x?[0,2].?2(2n?1)22n?1五、(本题满分7分)【解析】设点M的坐标为(x,y),则M处的切线方程为Y?y?y?(X?x).令X?0,得Y?y?xy?,切线与y轴的交点为A(0,y?xy?).由MA?OA,有x2?(xy?)2?y?xy?.1???1化简后得伯努利方程2yy??y2??x,y2?y2???1令z?y2,方程化为一阶线性方程?z??z???x(c?x),即y2?cx?x2,亦即y?cx?2x.?3?3又由y?,得c?3,L的方程为y?3x?x2(0?x?3.)???2?2六、(本题满分8分)【解析】在平面上?Pdx?Qdy与路径无关(其中P,Q有连续偏导数),L?P?Q?Q??,即?2x.?y?x?x对x积分得Q(x,y)?x2??(y),其中?(y)?t,(t,1)??(1,t)???2xydx?x2??(y)dy??2xydx?x2??(y)dy.①(0,0)(0,0)下面由此等式求?(y).方法一:易求得原函数?2?222xydx?x??(y)dy?ydx?xdy??(y)dy????yy?d(x2y)?d??(s)ds?dx2y???(s):..??(t,1)??t(1,)2y2y于是由①式得xy???(s)ds?xy???(s)(0,0)(0,0)1tt即t2???(s)ds?t???(s)ds,亦即t2?t???(s)?1??(t),即?(t)?2t?(x,y)?x2?2y?:取特殊的积分路径:对①(t,1)(1,t)OtxO1x?1?2??t??于是得t??(y)dy?1??(y)???(y)dy?t???(y)dy,亦即t2?t???(y)、(本题满分8分)【解析】(1)?c?(a,b),使g(c)?,???(a,c)与??(c,b),12使g?(?)?g?(?)?0;从而由罗尔定理,???(?,?)?(a,b),g??(?)???(x)?0矛盾.(2)证明本题的关键问题是:“对谁使用罗尔定理?”换言之,“谁的导数等于零?”(x)g??(x)?f??(x)g(x)在(a,b)存在零点.:..???方法一:注意到f(x)g??(x)?f??(x)g(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x),考察f(x)g??(x)?f??(x)g(x)的原函数,令?(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x),??(x)在[a,b]可导,?(a)??(b)?,???(a,b),使??(?)?(?)f??(?)f(?)g??(?)?f??(?)g(?)?0,亦即?.g(?)g??(?)方法二:若不能像前面那样观察到f(x)g??(x)?f??(x)g(x)的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题:f(x)g??(x)?f??(x)g(x)?(?)????f(x)g??(x)?f??(x)g(x)?dx??.??f(x)g??(x)?f??(x)g(x)?dx??f(x)dg?(x)??g(x)df?(x)??f(x)g?(x)??g?(x)f?(x)dx???f?(x)g(x)??f?(x)g?(x)dx??????f(x)g?(x)?f?(x)g(x)(取C?0).令?(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x),、(本题满分7分)【解析】设对应于????1的特征向量为??(x,x,x)T,因为A为实对称矩阵,且实对称23123矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故?T??0,即x?x???(1,0,0)T,??(0,1,?1)(?,?,?)?(??,??,??),123112233所以A?(??,??,??)(?,?,?)?1112233123010010?1100??????????????101101?00?1.??????????????10?1??10?1??0?10?:..九、(本题满分6分)【解析】方法一:根据AAT?E有|A?E|?|A?AAT|?|A(E?AT)|?|A||E?A|?|A||A?E|,移项得(1?|A|)|A?E|??0,故1?|A|?|A?E|?:因为(A?E)AT?AAT?AT?E?AT?E?A,所以A?EA?E?A,即(1?|A|)|A?E|??0,故1?|A|?|A?E|?、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X服从n?10,p?,有E(X)?np?4,D(X)?np(1?p)?,根据方差性质有E(X2)?D(X)?[E(X)]2?.(2)【解析】令A?{X?0},B?{Y?0},则P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}?1?P{X?0,Y?0}.由概率的广义加法公式P(AB)?P(A)?P(B?)P(A,有B)P{max(X,Y)?0}?1?[1?P(AB)]?P(A?B)?P(A)?p(B)?P(AB)4435????.7777十一、(本题满分6分):..【解析】方法1:用分布函数法先求Y的分布函数F(y).Y当y?1时,F(y)?0;Yy?1F(y)?P{Y?y}?P(eX?y)?P?X?lny?当时,Ylnylny1??e?xdx??e?x?1?,00y所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得?1?,y?1,f(y)?F?(y)??y2YY??0,y??e?xdx对y求导数得?e?xdx?e?lny?.0dy0yy2方法2:?ex在?0,???内单调,其反函数x?h(y)?lny在?1,???内可导且其导数为1x???0,则所求概率密度函数为yy?1?1?????????e?lny,y?1,,y?1,?hy?fhy,y?1,??f?y??X?y?y2???Y0,y?1.???????0,y?1.?0,y?1.【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:?(t)若F(t)??f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则?(t)F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.