2021-2022学年人教版九年级数学中考专题复习之轴对称确定最短路径专题训练(附答案).pdf

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CR=CJ=3,∵C,K关于MJ对称,∴KJ=CJ=2,∠MJK=∠MJC=45°,GC=GK,∴∠KJB=90°,∴BK===3,∵GC+GB=GK+GB≥BK,:..GB≥3,∴GC+:如图,在AB的下方作∠BAR=45°,且AR=CD=2,连接MR,DR,过点R作RT⊥DA交DA的延长线于T.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=2,∠DCN=45°,∠DAB=∠BAT=90°,∴∠DCN=∠RAM=45°,在△DCN和△RAM中,,∴△DCN≌△RAM(SAS),∴DN=RM,∵∠BAR=∠RAT=45°,AR=2,∠T=90°,∴AT=RT=,∴DR===,∵DM+DN=DM+MR≥DR,∴DM+DN的最小值为,∴(DM+DN)2的最小值为8+:8+:(1)∵点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,∴OG=OP,OM⊥GP,∴OM平分∠POG,同理可得ON平分∠POH,:..=∠MON=2×50°=100°,故答案为:100°;∵PO=5,∴GO=HO=5,当∠MON=90°时,∠GOH=180°,∴点G,O,H在同一直线上,∴GH=GO+HO=10;(2)如图所示:分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A、B,连接PA、PB,则AP=AP',BP=BP“,此时△PAB周长的最小值等于P′P″,OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA,∠P″OB=∠POB,∴∠P′OP″=2∠MON=2×60°=120°,∴∠OP′P″=∠OP″P′=(180°﹣120°)÷2=30°,∴∠OPA=∠OP'A=30°,同理可得∠BPO=∠OP″B=30°,∴∠APB=30°+30°=60°.:(1)如图所示:;(2)如图所示::..()∵每小格均为边长是1的正方形,∴1=4+4=8,BB1=2+2=4,1之间的距离为2,∴1B1的面积为×(8+4)×2=12,故答案为::(1)作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于P,则点P即为所求;(2)在直线l上任取另一点Q,连接PA、QA、QB.∵点A与A′关于直线l成轴对称,点P、Q在直线l上∴PA=PA′,QA=QA′.∵QA′+QB>A′B,∴QA+QB>A′B即QA+QB>A′P+BP,∴QA+QB>AP+BP.∴PA+PB最小.:..解:作点关于直线OM的对称点P′,作Q关于直线ON的对称点Q′,连接P′Q′交OM于A,ON于B,:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,由图知,A1的坐标为(﹣1,1)、B1的坐标为(﹣4,2)、C1的坐标为(﹣3,4);(2)如图所示:作出点A的对称点,连接A'B,则A'B与x轴的交点即是点P的位置,则PA+PB的最小值=A′B,∵A′B==3,∴PA+PB的最小值为3;(3)△ABC的面积=3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3=,故答案为:(﹣1,1),(﹣4,2),(﹣3,4),:方案一:如图1,连接AB,过A作AC1⊥l于C1则C1即为水厂地址,过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D,则AD=7km,BD=8km,AC1=4km,:..==km,∴所需管道长度=AC+AB=(4+)km;方案二:作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于C2,则C2即为水厂地址,如图2,过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D,则A′D=15km,BD=8km,∴所需管道长度=A′B==17km,综上所述:所需最短管道长度=(4+):如图:(1)∵MN垂直平分AB.∴MB=MA,又∵△MBC的周长是14cm,∴AC+BC=14cm,∴BC=6cm.(2)当点P与点M重合时,PB+CP的值最小,:(1)作D点关于AB的对称点D′,连接CD′交AB于P,P即为所求,此时PC+PD=PC+PD′=CD′,根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小.:..)作′E⊥BC于E,则EB=D′A=AD,∵CD=2AD,∴DD′=CD,∴∠DCD′=∠DD′C,∵∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABED′是矩形,∴DD′∥EC,D′E=AB=4,∴∠D′CE=∠DD′C,∴∠D′CE=∠DCD′,∵∠DCB=60°,∴∠D′CE=30°,∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8;∴PC+:(1)∵C(1,0),∴OC=1,∵在Rt△AOC中,∠A=30°,∴AC=2,OA=,如图1,当AC=AP,∠CAP=90°,过P1作P1B⊥y轴于B,则△ABP1≌△COA,∴AB=OC=1,BP1=AO=,∴OB=1+,∴P1(,1+);②当AC=CP,∠ACP=90°,过P2作P2D⊥x轴于D,同理可得:CD=OA=,P2D=1,∴P2(1+,1);③当CP=AP,∠APC=90°,过P3作P3E⊥x轴于E,:..是AP2的中点,∴OE=OD=,P3E=(OA+P2D)=,∴P3(,);综上所述,P(,1+),(1+,1),(,);(2)如图2,任取△AOC内一点Q,连接AQ、OQ、CQ,将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ’,∴A′C=AC=2,CQ=CQ′,AQ=A′Q′,∠ACA′=∠QCQ′=60°,∴△QCQ′是等边三角形,∴CQ=QQ′,∴AQ+OQ+CQ=A′Q′+OQ+QQ’,∴当A′Q′,OQ,QQ′这三条线段在同一直线时最短,即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′,∵∠ACO=∠ACA′=60°,∴∠A′CB=60°,过A′作A′B⊥x轴于B,∴BC=A’C=1,A′B=,∴OB=2,∴A′O==,∴AQ、OQ、:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=70°,∴∠A=40°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,∴∠ANM=90°,:..=°,故答案为:50;(2)∵MN是AB的垂直平分线,∴AM=BM,∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC,∵AB=8,△MBC的周长是14,∴BC=14﹣8=6;②当点P与M重合时,△PBC周长的值最小,理由:∵PB+PC=PA+PC,PA+PC≥AC,∴P与M重合时,PA+PC=AC,此时PB+PC最小,∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=:(1)如图所示:(2)A2(﹣3,﹣2),B2(﹣4,3),C2(﹣1,1);(3)连接AB1或BA1交y轴于点P,:(1)∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠BAD=∠B,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∵∠C=90°,:..∠B=90°,∴∠B=30°.(2)∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°,∴AD=2CD,∵AD=BD,∴BD=2CD,∴BC=BD+CD=3CD,∴CD=BC;(3)作C点关于直线AD的对称点C′,∵AD平分∠BAC.∴C′在直线AB上,连接BC′的直线就是AB,∴P点就是A点,此时|PB﹣PC|的最大值为BC′,∵AC=AC′=BC′,∴|PB﹣PC|的最大值=2.