贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析.pdf

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考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,、32【解题分析】由已知可得抽取的比例,计算出所有被调查的人数,再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.【题目详解】81由题可知,抽取的比例为?,被调查的总人数为40?10?30?80=160人,4051则分层抽样的样本容量是?160?:32:..【题目点拨】本题考查分层抽样中求样本容量,、1【解题分析】根据均值的定义计算.【题目详解】50M?MM由题意N??M,∴?:1.【题目点拨】本题考查均值的概念,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)a?2?3?2n?1;(2)S?3(n?1)?2n?1?6nn【解题分析】?a?2??a?(1)根据递推公式,用配凑法构造等比数列,求其通项公式,进而求出的通项公式;nn{b}?b?nS(2)求出数列的通项公式,【题目详解】解:(1)a?2?2a,nn?1?a?2?2?a?2?a?2?3,nn?11??a?2?3是首项为,?2?3?2n?1,?a?2?3?2n??n?n(2)b?4?3?2?4n?3n?2n?123n?S?3?1?2?2?2?3?2??n?2n?234n?1?2S?3?1?2?2?2?3?2??n?2n?n?2?1?2???S?3?21?22?23??2n?n?2n?1?3??3n?2n?1n1?2?S?3(n?1)?2n?1?【题目点拨】:..本题考查了由数列的递推公式求通项公式,错位相减法求数列的前n项和的问题,?5?18、(1);(2)-1,??3?2?【解题分析】(1)当a?2时,由题意得到x?2?3x?2?M,令g(x)?x?2?3x?2,分类讨论求得函数的最小值,即可求得M的最大值.?1??1?(2)由x?,1时,不等式f(x)?2x?1?2x?1恒成立,转化为x?2≤a≤x?2在x?,1上恒成立,得到?????2??2?(x?2)?a?(x?2),【题目详解】(1)由题意,当a?2时,由f(x)?3x?2?M,可得x?2?3x?2?M,令g(x)?x?2?3x?2,则只需g(x)?M,min2当x?时,g(x)?4?4x;32当?x?2时,g(x)?2x;3当x?2时,g(x)?4x?4;244故当x?时,g(x)取得最小值,?1?(2)依题意,当x?,1时,不等式f(x)?2x?1?2x?1恒成立,???2??1?即x?a?2x?1?2x?1在x?,1上恒成立,???2?所以x?a?2x?1?2x?1,即x?a?2,即?2?x?a?2,?1?解得x?2≤a≤x?2在x?,1上恒成立,???2?5则(x?2)?a?(x?2),所以?1?a?,maxmin2?5?所示实数a的取值范围是?1,.???2?【题目点拨】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法,以及不等式的恒成立问题的求解与应用,着重考查了转化思想,以及推理:..、(1)1;(2)见解析【解题分析】A?x,y?B?x,y?(1)设,,联立直线和抛物线方程,得x2?4px?4p?0,写出韦达定理,根据弦长公式,即可求1122出p?1;11(2)由y?x2,得y??x,根据导数的几何意义,求出抛物线在点A点处切线方程,进而求出x?x,即可证42NM出MN//y轴.【题目详解】A?x,y?B?x,y?解:(1)设,,1122将直线l代入C中整理得:x2?4px?4p?0,∴x?x?4p,xx??4p,1212∴AB?2??x?x?2?4xx?2?16p2?16p?8,1212解得:p??x,y?B?x,y?(2)同(1)假设,,112211由y?x2,得y??x,4211从而抛物线在点A点处的切线方程为y?x2?x?x?x?,4121111即y?xx?x2,2141x2?4令y??1,得x?1,N2x1x2?xxx?x由(1)知?4?xx,从而x?112?12?x,12N2x2M1这表明MN//y轴.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程,考查转化思想和计算能力.??1,?2?.f?x?20、(1)见解析,(2)函数存在唯一零点.:..【解题分析】(1)首先求出导函数,利用导数的几何意义求出x?0处的切线斜率,利用点斜式即可求出切线方程,?x?f?x??0,x?xg?x??ex?e?x?2cosx(2)由(1)求出函数,令方程可转化为e?e?2cosx?0,记,利用导???g?x?g??0,g?0??0数判断函数在R上单调递增,根据??,由零点存在性定理即可求出零点个数.?2?【题目详解】?1?f'?x??2e2x??ex?sinx?cosx?,f'?0??2?2,f?0????ly??2???x??,所以直线方程为y??2????x?1??2??1,?2?.即,恒过点?2??1,6?l将代入直线方程,????x??0,得考虑方程即e2x?2cosxex?1?0,等价于ex?e?x?2cosx?0,g?x??ex?e?x?2cosx记,则g'?x??ex?e?x?2sinx?2exe?x?2sinx?2?2sinx?0,??????????于是函数gx在R上单调递增,又g??e2?e2?0,g0?2?0???2????????所以函数gx在区间?,0上存在唯一零点,即函数fx存在唯一零点.???2?【题目点拨】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,?1,0?21、(1)??1(2)直线恒过定点,详见解析43【解题分析】(1)依题意由椭圆的简单性质可求出a,b,即得椭圆C的方程;(2)设直线AM的方程为:x?ty?2,联立直线AM的方程与椭圆方程可求得点M的坐标,同理可求出点N的坐1标,根据M,N的坐标可求出直线MN的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.【题目详解】:..c1x2y2(1)由题有a?2,e??.∴c?1,∴b2?a2?c2?3.∴椭圆方程为???x?ty?2?1AMx?ty?2??3t?4?y2?12ty?0(2)设直线的方程为:,则?x2y21??111??4312t12t6t2?86t2?812t∴y?0或y?,∴x?ty?2?t1?2?1,同理x?2,y?213t2?411113t2?43t2?423t2?423t2?4111226?6??6?1111当x?4时,由x?ty?2有y?.∴E4,,同理F4,,又???3????3313tttyyyy1????1234123t2?43t2?4tt?t?t??3tt?4?t?t∴1?2?1?2,?1212?1212t12t6612tt61212y?yt?t?0y?y?12?x?x?当时,tt??4∴直线MN的方程为12121x?x11212t12t1?212t3t2?43t2?4?6t2?8?12t4?6t2?8??y?1?12?x?1??y?1??x?1?3t2?46t2?86t2?83t2?43t2?4t?t3t2?4????11?2111213t2?43t2?412?2?446t2?812t443t?44?y?x??1?1?x?1??x?1?22?2???t?tt?t3t?43t?4t?t3t?4t?tt?t12**********MN?1,0?t?t?0?1,0?∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..12MN?1,0?综上:直线恒过定点.【题目点拨】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,、(1)见解析;(2).9【解题分析】(1)先证明PE?AD,BE?AD可证AD?平面PBE,再由AD∥BC可证BC⊥平面PBE,即得证;(2)以E为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系E?xyz,设PF??PC(0?1),求解面DBP的法向量m,5面DFB的法向量n,利用二面角P?DB?F的余弦值为,可求解?,转化V?V??PDFP?BDCF?BDC【题目详解】:..(1)证明:因为△PAD是正三角形,E为线段AD的中点,所以PE?,所以AD??BAD?60?,所以△ABD是正三角形,所以BE?AD,所以AD?∥BC,所以BC⊥?平面PBC,所以平面PBC?平面PBE.(2)由(1)知BC⊥平面PBE,所以BC?PB,PB?PC2?BC2??BE?3,所以PB2?PE2?BE2,PE??AD,所以PE?,建立如图所示空间直角坐标系E?(0,3,0),P(0,0,3),C(?2,3,0),D(?1,0,0).于是,DP?(1,0,3),DB?(1,3,0).设面DBP的一个法向量m?(x,y,z),?m?DB?0,????x?3y?0,由?得??m?DP?0,?x?3z?0.?令x?3,则y?z??1,即m?(3,?1,?1).:..设PF??PC(0?1),易得F(?2?,3?,3?3?),DF?(1?2?,3?,3?3?).设面DFB的一个法向量n?(x,y,z),?n?DB?0,?x?3y?0,?由?得??n?DF?0,?(1?2?)x?3?y?(3?3?)z?0.?1?3?令x?3,则y??1,z?,??1?1?3??即n??3,?1,?.???1?5依题意|cos?m,n?|?,53??14???15?即,?25?1?3?5?4??????1?3??13令?t,则t??,??123??135即??,即??.??1295515所以V?V?V?V???3?3?.B?PDFP?BDCF?BDC9P?BDC939【题目点拨】本题考查了空间向量和立体几何综合,考查了面面垂直的判断,二面角的向量求解,三棱锥的体积等知识点,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.