重庆市中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析.pdf

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??30?1212因此,直线l的方程为y?15?x?12,即x?y?3?0.?y?x?3联立?可得x2?24x?56?0,??242?4?56?0,5x2?4y2?20?x2y2所以,直线x?y?3?0与双曲线??1有两个交点,合乎题意,45因此,直线l的方程为x?y?3?0,故答案为:x?y?3?:1?ab0?F,F,点A在C上,点在y????的左右焦点分别为B轴上,a2b212??????????????????FA?FB,FB??4FA,【答案】5【解析】1|AF|?m,利用椭圆定义及对称性表示出AF,BF,AB,结合勾股定理可得m?a,再【分析】??1?a?b?0?|AF|?m,则AF?2a?m,【详解】令椭圆:的半焦距为c,设a2b221??????????????????yFB??4FABF?BF?4m,而|AB|?5m,FA?FB由点B在轴上,,得,2212111AF|2?BF|2?|AB|2,即(2a?m)2?(4m)2?(5m)2,解得m?a,因此112:..Rt?BFO中,cos?OFB?2??在,22BF4m2a2△AFF中,由余弦定理得AF|2?AF|2?|FF|2?2AFFFcos?AFF,在12**********即(a)2?(a)2?(2c)2?2?a?2c?(?),整理得5c2?2a2,e2??,::本题共6小题,,?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2C?sin2A?sin2B?sinA?sinB.(1)求角C的大小;(2)若a?1,c?3,求?【答案】(1)C?;33(2).2【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即得.(2)由(1)中信息求出b,再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在?ABC中,由sin2C?sin2A?sin2B?sinA?sinB及正弦定理得c2?a2?b2?ab,:..a2?b2?c21即c2?a2?b2?ab,由余弦定理得cosC??,而0?C?π,2ab2πC?.所以3【小问2详解】由(1)知c2?a2?b2?ab,而a?1,c?3,即有b2?b?2?0,而b?0,解得b?2,1133所以?ABC的面积为S?absinC??1?2??.?,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为正方形,PE?AB,PA?PD,PA?PD,E为AD的中点.(1)求证:PE?平面ABCD;(2)求直线PE和平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;25(2).5【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用线面垂直的判定推理即得.(2)取BC中点F,证明平面PEF?平面PBC,利用几何法求出线面角的正弦即得.【小问1详解】在四棱锥P?ABCD中,由PA?PD,E为AD的中点,得PE?AD,而PE?AB,AD?AB?A,AD,AB?平面ABCD,所以PE?平面ABCD.【小问2详解】取BC中点F,连接EF,PF,由ABCD是正方形,E为AD的中点,得EF//AB,而AB?BC,则EF?BC,由(1)知PE?平面ABCD,BC?平面ABCD,则PE?BC,:..而PE?EF?E,PE,EF?平面PEF,于是BC?平面PEF,又BC?平面PBC,则平面PEF?平面PBC,因此PE在平面PBC上的射影为平面PEF与平面PBC的交线PF,则?EPF为直线PE和平面PBC所成的角,11由PA?PD,PA?PD,E为AD的中点,得PE?AD?EF,225由PE?平面ABCD,EF?平面ABCD,得PE?EF,PF?PE2?EF2?EF,2EF25所以直线PE和平面PBC所成的角的正弦值为sin?EPF??.PF5x2y2x2??:??1?a?0,b?0??y2?1有相同的焦点,且经过点2,(1)求双曲线C的方程;(2)若直线2x?y?m?0与双曲线C交于A、两点,且OA?OB,O为坐标原点,【答案】(1)x2??1;2(2)±10.【解析】【分析】(1)由椭圆方程求出双曲线C的焦点,再根据给定点求出a,b即可.(2)联立直线与双曲线方程,利用向量垂直的坐标表示求解即得.【小问1详解】x2y2令双曲线C:??1?a?0,b?0?的半焦距为c,a2b2x2由双曲线C与椭圆?y2?1有相同的焦点,得c2?4?1?3,即a2?b2?3,4??22C2,2,得??1a2?1,b2?2,由双曲线过点,解得a2b2:..y2所以双曲线C的方程为x2??【小问2详解】?2x?y?m?0由(1)得?,消去y得:2x2?4mx?m2?2?0,2x2?y2?2???16m2?8(m2?2)?0,解得m2?2A(x,y),B(x,y),,设11221x?x??2m,xx?m2?1,yy?(2x?m)(2x?m)?4xx?2m(x?x)?m2,则12**********????????由OA?OB,得OA?OB?xx?yy?0,即5xx?2m(x?x)?m2?0,121212121于是5(m2?1)?4m2?m2?0,解得m??10,2所以m的值为±?2,2?B?4,2?、,且圆M的圆心在直线x?y?0上.(1)求圆M的方程;(2)若点P为直线l:x?y?2?0上的动点,过点P作圆M的切线PQ、PR,切点为Q、R,求四边形PQMR面积的最小值,并出此时点P的坐标.?x?3?2??y?3?2?2【答案】(1)23P?1,1?(2);【解析】【分析】(1)根据圆上的两个已知点求得其对称轴,联立方程求得圆心,利用两点距离公式,可得答案;(2)根据题意,作图,结合切线的性质以及动点与直线的性质,可得答案.:..【小问1详解】2?2A?2,2?B?4,2?k??0?3,2?由与,则直线AB的斜率,其中点坐标为,AB4?2所以A,B的对称轴为直线x?3,易知圆心M在直线x?3上,?x?3?x?3M?3,3?r?AM??3?2?2??3?2?2?2联立?,解得?,则,半径,x?y?0y?3???x?3?2??y?3?2?【小问2详解】根据题意,作图如下:PQMRS?SVMRP?VMQP由图可知:四边形的面积为,且,MR?PR,VMRPVMQPPR2?MP2?MR2,因为MR?2,所以当最小时,S在RtVMRP中,PR最小,VMRP3?3?2MP?lMPMP??22PR?6当时,最小,此时PR最小,此时,,1?11S??PR?MR?3,所以四边形PQMR面积的最小值为23,?MRP2由直线l:x?y?2?0,则其斜率k??1,?1k??1y?3?x?3y?x直线MP的斜率,则直线MP的方程为,整理可得,MPk?y?x?x?1P?1,1?联立?,解得?,?y?2?0y?1??,如图(1)在五边形AEBCD中,BC?CD,CD//AB,AB?2CD?2BC?2,AE?AB,AE?AB,现将?ABE沿AB折起得到图(2),且使得平面ABE?平面ABCD,M在线段AE上.:..图(1)图(2)?????2????AM?AECE//BDM(1)若,求证:平面;3?????????10(2)若AM??AE,当?为何值时,【答案】(1)证明见解析;1(2)??.4【解析】【分析】(1)连接AC?BD?F,连接FM,利用线面平行的判定推理即得.(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求面面角的求解方法,求出?值即可.【小问1详解】CFCD1连接AC?BD?F,连接FM,由CD//AB,AB?2CD,得??,AFAB2?????2????EM1CF由AM?AE,得??,则FM//CE,而FM?平面BDM,CE?平面BDM,3AM2AF所以CE//平面BDM.【小问2详解】由平面ABE?平面ABCD,平面ABE?平面ABCD?AB,AE?AB,得AE?平面ABCD,在平面ABCD内过A作Ay?AB,显然射线AB,Ay,AE两两垂直,AB,Ay,AEx,y,z以点A为原点,射线分别为轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,由BC?CD,CD//AB,AE?AB?2CD?2BC?2,:..得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(1,1,0),E(0,0,2),?????????????????由AM??AE,得M(0,0,2?)(0???1),DC?(1,0,0),DE?(?1,?1,2),?????????BD?(?1,1,0),BM?(?2,0,2?),??????n?DC?x?0???令平面CDE的一个法向量为n?(x,y,z),则??????,取z?1,得n?(0,2,1),?n?DE??x?y?2z?0?????????m?BD??a?b?0???令平面BDM的一个法向量为m?(a,b,c),则???????,取c?1,得m?(?,?,1),?m?BM??2a?2?c?0???????|mn|1010?由平面CDE和平面BDM夹角的余弦值为,得|cos?m,n?|?????,5|m||n|52??1101于是?,解得??,522154???110所以当??时,,A、B为圆O:x2?y2?4与x轴的交点,点P为该平面内异于A、B两点的动点,且______,①:直线AP与直线BP的斜率之积为?;4QOQxQD条件②:设为圆上的动点,D为点在轴上的射影,且P为的中点;注:如果选择多个条件作答,按第一个计分.(1)求动点P的轨迹方程C;(2)若直线l与(1)问中轨迹方程C交于M、N两点,与圆O相交于E、F两点,且?EOF?120?,求?【答案】(1)①:?y2?1?x??2?;②:?y2?144(2)1【解析】【分析】(1)选①:表示出两条直线的斜率,整理方程,可得答案;选②:表示出点的坐标,利用中点坐标公式,建立等量关系,结合圆的方程,可得答案.(2)根据圆心角求得弦心距,利用直线与椭圆的弦长公式,结合分类讨论以及函数思想,可得答案.【小问1详解】:..选①:??A??2,0?B?2,0?设Px,y,由圆O:x2?y2?4,则,,yy所以直线AP,BP的斜率分为为k?,k?,其中x??2,APx?2BPx?2y21x2由题意可得kk???,整理可得?y2?1?x??2?.APBPx2?444选②:Q?x,y?P?x,y?D?x,0?x2?y2?4设,,则,,00000?x?x00?x?2?x?x?QD0由P为的中点,则?,解得?,y?0y?2y?0y?0?????2x2可得x2?4y2?4,整理可得?y2?【小问2详解】在圆O中,由OA?l,?EOF?2?EOA,则?EOA?60?,1在Rt?EOA中,OA?OE?cos60o?1,则S??OA?MN,VMON2x2当直线l的斜率不存在时,可得l:x??1,代入方程C:?y2?1,413可得:?y2?1,解得y??,可得MN?3;42?y?kx?b?当直线l的斜率存在时,可设l:y?kx?b,联立可得?x2,?y2?1??4:..????2????y1?4k2x2?8kbx?4b2?4?0,??8kb?41?4k24b2?4?0,消去整理可得:8kb4b2?4根据韦达定理可得:x?x??,xx?,121?4k21214k2?bl:kx?y?b?0OA??1b2?k2?1整理可得,则,解得,1?k2MN?1?k2x?x?1?k2?x?x?2?4xx12121223k2?1k2??8kb?4b2?4??1?k2?4?4??,?1?4k2?1?4k2?14k2?2???????3x21?x2?6x2x?12x?1?12x3?6xf?x??f??x???令,则,?14x2?2??4??4?1?4k21?4k22f??x??0x?0令,解得或?,可得下表:2?2?2?2??2?2?2?x???,?????,0?0?0,??,????2??2??2??2???2????2??f??x???0?0?011f?x???0??441f?x??,则MN的最大值为2,所以max4综上所述,S的最大值为1.?MON