2023-2024学年山东省菏泽市郓城县高二上册期末数学模拟试题(含解析)6031.pdf

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2b2?a2n2??a2b2m2a2b2n2因为△AOF是正三角形,所以|OA|?c,因此,可得????将n?3m,b2?a2?c2代入上式,化简、整理得4a4?8a2c2?c4?0,即e4?8e2?4?0,解得e?3?1,e?3?1(舍去).:..所以,椭圆的离心率为3?1,?1;2.[方法三]:数形结合+椭圆定义+解焦点三角形由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为y?3x,于是双曲线N的离心率为1?(3)2???1的一条渐近线与椭圆??1在第一象限的交点为A,椭圆的左、右m2n2a2b2???焦点分别为F,△AFF中,?AFF?,?AFF?,?FAF?.12**********AFAFFF由正弦定理得1?2??AFFsin?AFFsin?FAF211212AF?AFFF于是12??AFF?sin?AFFsin?FAF211212?sin2c2即椭圆的离心率e???3???sin?sin63故3?1;2.【整体点评】方法一:直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解,是该题的最优解;方法二:利用正六边形性质求出双曲线的离心率,根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率,运算较为复杂;方法三:利用正六边形性质求出双曲线的离心率,、解答题?a?nSa?a?10a?a?,且,.nn1324?a?(1)求的通项公式;nSSS(2)求1?2?????【正确答案】(1)a?2nn1(2)2n?2?2n?1:..?a?qa,q?a?【分析】(1)设的公比为,根据题意求得的值,即可求得的通项公式;n1nS1S?2n?1?2n?2?(2)由(1)求得,得到,利用等比数列的求和公式,?1n?a?q【详解】(1)解:设的公比为,na?aa?a?10a?a?20q?42?2因为,,则,1324a?a31又因为a?a?a?4a?10,解得a?2,13111所以?a?的通项公式为a?2?2n?1??2n?1(2)解:由a?2n,可得S??2n?1?2,nn1?2S2n?1?21则n??2?,a2n2n?1n11?SSS2n1所以1?2?????n?2n??2n?2?.aaa12n?112n1?,在三棱锥P?ABC中,AB?BC,AB?BC?2,PA?PB?PC?22,O为AC的中点.(1)证明:AC?平面PBO;(2)若M为棱BC的中点,求二面角M?PA?C的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析;231(2).31:..【分析】(1)先证明PO?AC和AC?OB,再利用线面垂直的判定定理证明出AC?平面PBO;(2)以OB,OC,OP为xy轴?轴?z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解.【详解】(1)PA?PC,O为AC的中点,?PO??BC,O为AC的中点,?AC??AC,AC?OB,OB?PO?O,OB?平面PBO,PO?平面PBO,?AC?平面PBO.(2)AB?BC,AB?BC?2,PA?PB?PC?22,O为AC的中点,AC?22,?BO?2,PO?6,?PO2?OB2?PB2,?PO??OB,AC?PO?O,AC,PO?平面PAC,?OB?,OC,OPxy分别以为轴?轴?z轴建立空间直角坐标系,如图.?????????22?O?0,0,0?,A0,?2,0,B2,0,0,C0,2,0,P0,0,2,M,,????????22????????232?????AM,,0,PA?0,2,6?所以??????.?22????记n??x,y,z?为平面AMP的法向量,:..???????232?nAM0x?y?0??????则??????,即?22,不妨令z?1,则n?33,?3,?PA?0??2y6z0??????而平面APC的法向量m??1,0,0?,易知二面角M?PA?C的平面角为锐角记为?,则??????n?m233393?33?231cos??cosn,m??????,sin??1????.nm3131?31?31???,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向202km处,,的正东方向为轴正方向,1km为单位长度,建立平面直角坐标系,如图所示.(1)试写出A,B的坐标,并求A,B两岛之间的距离;(2)已知在经过O,A,B三个点的圆形区域内有未知暗礁,现有一艘船M在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处,正沿北偏东45°方向行驶,若不改变方向,该船有没有触礁的危险?【正确答案】(1)A(20,20),B(10,0),105(km)(2)有触礁的危险【分析】(1)根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解;(2)利用点和直线的位置关系即可判断.【详解】(1)A在O的北偏东45°方向202km,B在O的正东方向10km.:..?A(20,20),B(10,0),由两点间的距离公式知|AB|?(20?10)2?202?105(km).(2)设过O,A,B三点的圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?(0,0),A(20,20),B(10,0)代入上式,得?F?0?D??10???202?202?20D?20E?F?0,解得E??30.??102?10D?F?0?F0????圆的方程为x2?y2?10x?30y?0,则该圆的圆心为?5,15?,?510M??10,?103?设船起初所在的点为M,则,又该船航线所在直线的斜率为1,?该船航线所在的直线方程为x?y?10?103?0.|5?15?10?103|?圆心到此直线的距离d??56??若不改变方向,该船有触礁的危险..?a?a4a4a?nN*?a?4,a????,?2n?1n12?a2a??a?(1)证明:?是等比数列,并求的通项公式;n?1nnaa(2)在①b?a?ab?lognb?n?2;②;③n这三个条件中任选一个补充在下面横线nn?1nn2naan?1n上,?b?满足__________,求?b?的前n项和T.(如果选择多个条件nnn分别解答,按第一个解答计分)【正确答案】(1)证明见解析,a??n?1??2nn(2)答案见解析【分析】(1)利用递推公式,结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可;(2)若选①:利用错位相减法进行求解即可;n若选②:根据对数的运算性质,结合等差数列前项和公式进行求解即可;若选③:根据裂项相消法进行求解即可.:..【详解】(1)因为a?4a?4a,n?2n?1n所以a?2a?2?a?2a?,又a?4,a?12,于是a?2a?4,n?2n?1n?1n1221所以?a?2a??1naa所以a?2a?2n?1,两边除以2n?1得,n?1?n??1n2n?12na?a?又1?2,所以?n??2n?a??所以n?n?1,即a?n?1?(2)若选①:b?a?a,即b??n?2??2n?1??n?1??2n??n?3???1nn因为T?4?21?5?22?6?23???n?3??2n,n所以2T?4?22?5?23?6?24???n?3??2n??22232n??n3?2n?1两式相减得,??????????n4?2n?11????8???n?3??2n?1???n?2??2n?1?4,2?1所以T??n?2??2n?1??1n?1若选②:b?logn,即b?log?log2n?log??23n?1?所以T?log?log??log??1?2??n?n?21222n???23n?1?1?n?n???log????2?12n?2???1?n?n?log?n?1??22a4a?4a?11?b?n?2b?n?1n?4?.若选③:n,即??aanaaaann?1n?1n?nn?1??11??11??11?所以T?4??4???4?n?aa??aa??aa??12??23??nn?1??11??11?1?4??4????1?.??aa4?n?2?2n?1?n?2?2n?1?1n1??????????,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的:..?0?a?2?长度保持相等,记CM?BN?a.(1)求MN的长;(2)a为何值时,MN的长最小?(3)【正确答案】(1)|MN|?a2?2a?1;(2)a?时,|MN|最小,最小值为;(3)223xyz【分析】以B为坐标原点,分别以BA、BE、BC所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,求得A、C、F、E、M、N的坐标.(1)直接由两点间的距离公式可得|MN|;(2)把(1)中求得|MN|利用配方法求最值;(3)由(2)可知,当M,N为中点时,MN最短,求出M、N的坐标,取MN的中点G,连接AG,BG,可得G的坐标,连接AG,BG,得到?AGB是平面MNA与平面MNB的夹????????角或其补角,再由GA与GB的夹角求解.【详解】解:如图建立空间直角坐标系,A?1,0,0?,C?0,0,1?,F?1,1,0?,E?0,1,0?,?aa??aa?CM?BN?a,?M,0,1?,N,,0.?????22??22?:..aaaa(1)|MN|?(?)2?(0?)2?(1?)2?a2?2a?1;222221(2)|MN|?a2?2a?1?(a?)2?,2222当a?时,|MN|最小,最小值为;22(3)由(2)可知,当M,N为中点时,MN最短,1111则M(,0,),N(,,0),取MN的中点G,连接AG,BG,2222111则G(,,),244AM?AN,BM?BN,?AG?MN,BG?MN,??AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角.????111??????111GA?,?,?,GB?(?,?,?),?244???2441????????????????·?1GAGB8?cosGA,GB????????????GA·GB2222223.?1??1??1??1??1??1?????·??????2??4??4??2??4??4?????????????1?:ax2?by2?1?a?0,b?0?,两条渐近线方程为y??3x.(1)求双曲线C的方程;11(2)双曲线C上有两个点D、E,直线OD和OE的斜率之积为1,判别?????????是否为OE2OD2定值,;?a?P?t,0?t?mCM,Nm(3)经过点??的直线且与双曲线有两个交点,直线的倾斜角是?a?????2?adPM???,???,,?,是否存在直线l:x=x(其中x?)使得M?恒成立?(其233000adPN??N中d,d分别是点M,N到l的距离)若存在,求出x的值,若不存在,:..1【正确答案】(1)12x2?4y2?1;(2)8;(3)存在且x?012t【详解】分析:(1)根据题意,双曲线C的虚轴长为1,两条渐近线方程为y??;3(2)设直线OD的斜率k,显然k??,3?12x2?4y2?11????????11x2?22??????????8;联立?得,求出OD,OE,可证y?kxD12?4k2OD2OE2?(3)设直线方程y?m?x?t?,m??3,????12x2?4y2?1?12?4m2?x2?8m2tx??4m2t2?1??0联立?,(*),y?m?x?t?????a∵t?,方程总有两个解,a设M?x,y?,N?x,y?,x?t?x,得到x?x,xx,1122121212dx?xt?x11211a根据M得10?1,整理得x?,由t?,则x???符合题目要dx?xx?t12t12012t12aN202求,:(1)双曲线C:12x2?4y2?1;3(2)设直线OD的斜率k,显然k??,3?12x2?4y2?11联立?得x2?,y?kxD12?4k2?:..????1k22???OD?OD?1?k2x2?,D12?4k21????1?k2k2?1OE2??,112?4k212?4k21112?4k212?4k2????????????8;OD2OE21?k21?k2(3)设直线方程y?m?x?t?,m??3,?12x2?4y2?1??2?22?22?联立?,12?4mx?8mtx?4mt?1?0(*),y?m?x?t?????a∵t?,方程总有两个解,a设M?x,y?,N?x,y?,x?t?x,112212??4m2t2?1??8m2tx?x?,xx?,1212?4m21212?4m2dPMx?xt?x根据M?得10?1,dPNx?xx?tN202?8m2t4m2t2?1t??2?124