2024学年合肥一六八中学高三月考(八)数学试题试卷.pdf

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再利用等比数列的通322项公式即可求解.【详解】99由aa?,aa?,242479214a?a1101??所以79?q5?q5?,解得q?.??a?a?2?22493aa??a2,所以a?,242433223?1?103所以a?aq10???.??13322?2?2123故答案为:212:..【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项,需熟记公式,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。?()2?152【解析】解:解:将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2?y2?4y?0,即x2?(y?2)2?4,它表示以(0,2)为圆心,2为半径圆,………………………4分直线方程l的普通方程为y?3x?1,………8分1圆C的圆心到直线l的距离d?,……………………………10分21故直线l被曲线C截得的线段长度为222?()2?15.……………14分22π2118.(1);(2)37【解析】ππ(1)利用正弦定理将边化成角,可得sinC?sin(?C)?3,展开并整理可得sin(C?)?1,从而可求出角C;36(2)由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC,进而可得(a?b)2?ab?7,由a?b?3,可求出ab的值,设AB边上的11高为h,可得ABC的面积为absinC?ch,【详解】π(1)由题意,由正弦定理得sinCsinB?sinBsin(?C)??(0,π),所以sinB?0,所以sinC?sin(?C)?3,展开得sinC?cosC?sinC?3,整理得322πsin(C?)??C?π,所以??C??,故C??,即C?.666623(2)由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC,则a2?b2?ab?7,得(a?b)2?ab?7,故ab?(a?b)2?7?9?7?2,12π3故ABC的面积为absinC?sin?.232:..7321设AB边上的高为h,有h?,故h?,【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用,考查三角形的面积公式的应用,考查学生的计算求解能力,.(1)3?cos???sin??23?0(2)a?2【解析】A?2,0?ll(1)利用消参法以及点求解出的普通方程,根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线的极坐标方程;??(2)将Q的坐标设为cos?,3sin?,利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性,求解出|PQ|取最小值时对应a的值.【详解】(1)消去参数t得l普通方程为3x?y?23a?0,A?2,0?将代入,可得a?1,即3x?y?23?0所以l的极坐标方程为3?cos???sin??23?0y2(2)C的直角坐标方程为x2??13直线l的直角坐标方程3x?y?23a?0(a?0)??设Q的直角坐标为cos?,3sin?|PQ|Qld???∵P在直线上,∴的最小值为到直线的距离的最小值???6sin?????23a?4?d(?)?2????6∵a?0,∴当??,sin?????1时|PQ|取得最小值4?4?2:..|6?23a|6即?,∴a?222【点睛】本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数,难度一般.(1)直角坐标和极坐标的互化公式:?cos??x,?sin??y;(2)求解曲线上一点到直线的距离的最值,可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式,.(1)证明见解析(2)190【解析】(1)因为BC//AD,利用线面平行的判定定理可证出BC//平面PAD,利用点线面的位置关系,得出BC//PM和EF//BC,由于PA?底面ABCD,利用线面垂直的性质,得出PA?BC,且AB?BC,最后结合线面垂直的判定定理得出BC⊥平面PAB,即可证出EF?平面PAB.(2)由(1)可知AB,AD,AP两两垂直,建立空间直角坐标系A?xyz,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面BDP和平面CDP的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出B?PD?C的余弦值.【详解】(1)证明:因为BC//AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC//平面PAD,因为P?平面PBC,P?平面PAD,所以可设平面PBC平面PAD?PM,又因为BC?平面PBC,所以BC////平面PAD,EF?平面PBC,所以EF//PM,从而得EF//?底面ABCD,所以PA??ABC?90?,所以AB??A,所以BC⊥,EF?平面PAB.(2)解:由(1)可得AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在xyzA?xyz直线分别为,,轴,?BC?AD?PB?2,所以PA?PB2?AB2?23,22则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,23),:..所以BD?(?2,4,0),BP?(?2,0,23),CD?(?2,2,0),CP?(?2,?2,23).m??x,y,z?BDP设是平面的法向量,111?m?BD?0,?????2x?4y?0,11由?取??m?BP?0,?????2x?23z?0,11取x?23,得m?(23,3,2).1n??x,y,z?CDP设是平面的法向量,222?n?CD?0,?????2x?2y?0,22由?得??n?CP?0,?????2x?2y?23z?0,222取x?3,得n?(3,3,2),2m?n13190cosm,n??所以,mn19013190即B?PD?【点睛】本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算,还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等,.(1)[?,](2)[?4,0)44【解析】?1?2,x???2??1111(1)当a?2时,f(x)?|2x?1|?|2x?1|??4x,??x?,当x??或x?时,|f(x)|?2,所以?1?f(x)?1可2222??1?2,x??2:..??1?4x?1?转化为?11,???x??221111解得??x?,所以不等式?1?f(x)?1的解集为[?,].44441(2)因为x?(?,0),所以|2x?1|?2x?1,2所以f(x)?2x,即2x?1?|ax?1|?2x,即|ax?1|??0时,因为x?(?,0),所以|ax?1|?1,?0时,解|ax?1|?1可得?x?0,a112因为当x?(?,0)时,不等式f(x)?2x恒成立,所以(?,0)?(,0),22a21所以??,解得?4?a?0,所以实数a的取值范围为[?4,0).a222.(1)t?3;(2)见解析【解析】(1)由题意,只需找到f(x)?|x?1|?|x?3|的最大值即可;b2c2a2(2)a3b?b3c?c3a?3abc????3,构造并利用基本不等式可得abcb2c2a2b2c2a2???(a?b?c)?2(a?b?c),即???a?b?c?【详解】?4,x?3?(1)f(x)?|x?1|?|x?3|??2x?2,?1?x?3,???4,x??1∴f(x)|x?1|?|x?3|?|m?2|?m有解等价于f(x)?4?|m?2|?m,max(ⅰ)当m?2时,上述不等式转化为4?m?2?m,解得2?m?3,(ⅱ)当m?2时,上述不等式转化为4??m?2?m,解得m?2,综上所述,实数m的取值范围为m?3,则实数m的最大值为3,即t?3.(2)证明:根据(1)求解知t?3,所以a?b?c?t?3,b2c2a2又∵a?0,b?0,c?0,a3b?b3c?c3a?3abc????3,abc:..b2c2a2b2c2a2???(a?b?c)??a??b??cabcabcb2c2a2?2?a?2?b?2?c?2(a?b?c),当且仅当a?b?c时,等号成立,abcb2c2a2b2c2a2即???a?b?c,∴???3,abcabc所以,a3b?b3c?c3a?3abc.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题,是一道中档题.