2024届福建省莆田八中高三年级第三次质检考试(一)数学试题试卷6786.pdf

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米,总费用为??,解即可得解;?x??225?S?x??(x?8)?2b(2)结合(1)可得占地面积??结合导函数分类讨论即可求得最值.?x?【详解】450(1)由题意知:矩形ABCD面积S??225米2,2225225设AD?x米,则AB?米,由题意知:x??0,得x?15,xxf?x?设总费用为,?450??225?则f(x)?225?200?150?2??2x???600?x???45000?65400,?x??x?解得:9?x?25,又x?15,故x?[15,25],所以发酵池D边长的范围是不小于15米,且不超过25米;:..?225?1800S?x?S?x??(x?8)?2b?2bx??16b?225,x?[15,25](2)设发酵馆的占地面积为由(1)知:??,?x?x?2?2bx?900S?(x)?,x?[15,25]x2b?4S??x??0S?x?[15,25]AB?AD?15①时,,在上递增,则x?15,即米时,发酵馆的占地面积最小;360?b?S??x??0S?x?[15,25]x?25AD?25,AB?9②时,,在上递减,则,即米时,发酵馆的占地面积最25小;?36??30??30?b?,4x?15,S??x??0S?x?x?,25S?(x)?0,S(x)③??时,??时,,递减;??时,递增,?25??b??b?3030b30b15b因此x??,即AD?,AB?时,发酵馆的占地面积最小;bbb236?36?综上所述:当0?b?时,AD?25,AB?9米时,发酵馆的占地面积最小;当b??,4?时,25?25?30b15bAD?,AB?时,发酵馆的占地面积最小;当b?4时,AB?AD?15米时,【点睛】此题考查函数模型的应用,关键在于根据题意恰当地建立模型,【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算,再由求模公式得答案.【详解】1?2i2?5i?2i2因为z(2?i)?1?2i,即z????i2?i4?i2所以z的模为1故答案为:1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模,.(1)见解析;(2)17【解析】:..(1)过点D作DE//AC交AA于E,连接CE,BE,设ADCE?O,连接BO,由角平分线的性质,正方形的性1质,三角形的全等,证得CE?BO,CE?AD,由线面垂直的判断定理证得CE?平面BAD,再由面面垂直的判断得证.(2)平面几何知识和线面的关系可证得BO?,建立空间直角坐标系O?xyz,求得两个平面的法向量,11根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】(1)如图,过点D作DE//AC交AA于E,连接CE,BE,设ADCE?O,连接BO,AC?AA,?DE?AE,11又AD为?AAC的角平分线,?四边形AEDC为正方形,?CE?AD,1又AC?AE,?BAC??BAE,BA?BA,??BAC??BAE,?BC?BE,又O为CE的中点,?CE?BO又AD,BO?平面BAD,ADBO?O,?CE?平面BAD,又CE?,?平面BAD?,11111(2)在?ABC中,AB?AC?4,?BAC?60?,?BC?4,在Rt?BOC中,CO?CE?22,?BO?22,21又AB?4,AO?AD?22,BO2?AO2?AB2,?BO?AD,2又BO?CE,ADCE?O,AD,CE?,?BO?,1111故建立如图空间直角坐标系O?xyz,则A(2,?2,0),A(2,4,0),C(?2,4,0),11B(0,6,22),?CB?(2,2,22),AC?(?4,6,0),CA?(4,0,0),111111????m?CB?????4x?6y?0ABC11?11设平面的一个法向量为m?(x,y,z),则?,?,11111m?AC2x?2y?22z?0????????1111令x=6,得m?(6,4,?52),1????n?CB设平面ABC的一个法向量为n?(x,y,z),则?11,111222n?CA????11????4x?0?2?,令y=2,得n?(0,2,?1)?2x?2y?22z?02?222m?n92317?cos?m,n????A?BC?A,由图示可知二面角是锐角,m?n102?317111317故二面角A?BC?:..【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明,二面角的计算,在证明垂直关系时,注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”,勾股定理、菱形的对角线互相垂直,?620.(1)AB?1;(2).4【解析】(1)将直线l和曲线C化为普通方程,联立直线l和曲线C,可得交点坐标,可得AB的值;11(2)可得曲线C的参数方程,【详解】ly?3?x?1?Cx2?y2?1解:(1)直线的普通方程为,????y?3?x?1??13?CA?1,0?B,?AB?1联立方程组?,解得l与的交点为,??,?22?????x?y?1???1x?cos?????213(2)曲线C的参数方程为?(?为参数),故点P的坐标为?cos?,sin??,2?22??3??y?sin?????233cos??sin??3从而点P到直线l的距离是223??π??,d??2sin???2????24??4???π?23?6由此当sin????1时,d取得最小值,且最小值为.???4?4【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等,.(Ⅰ)x?2y?2?0(Ⅱ)x?10【解析】:..(Ⅰ)根据点差法,即可求得直线的斜率,则方程即可求得;(Ⅱ)设出直线方程,联立椭圆方程,利用韦达定理,根据k?k?0,【详解】?x21?y2?1,??41M?x,y?N?x,y?(1)设,,则?1122x2?22?y?1.????42?x?x??x?x?两式相减,可得1212??y?y??y?y??0.(*)41212?1?因为线段MN的中点坐标为?1,?,所以x?x?2,y?y?1.?2?1212?x?x??2代入(*)式,得12??y?y???y1所以直线l的斜率k?12??.x?x21211所以直线l的方程为y???(x?1),即x?2y?2??x?my?4,?(Ⅱ)设直线l:x?my?4(m?0),联立?x2?y2?1.??4?2?2整理得m?4y?8my?12?0.??所以??64m2?4?12?m2?4?0,解得m2??y??,yy?.12m2?412m2?4yyy?x?x??y?x?x?所以k?k?1?2?120210PMPNx?xx?x?x?x??x?x?10201020xy?xy??y?y?x?my?4?y??my?4?y??y?y?x?2112120?2112120?x?x??x?x??x?x??x?x?102010202myy??4?x??y?y??12012?0,?x?x??x?x?10202myy??4?x??y?y??:..128m8m?x?1?所以2myy??4?x??y?y??2m???x?4???0??40m2?4m2?4因为m?0,所以x?【点睛】本题考查中点弦问题的点差法求解,以及利用代数与几何关系求直线方程,涉及韦达定理的应用,.(1)男生人数为45人,女生人数55人.(2)列联表答案见解析,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【解析】(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根据题意结合频率分布表,先求出二联表中数值,再结合K2公式计算,利用表格数据对比判断即可【详解】(1)因为男生人数:女生人数=900:1100=9:11,9所以男生人数为?100?45人,女生人数100﹣45=55人,20(2)由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为:(1×+1×+1×+1×)×100=75人,每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人,联表如下:男女总生生计每周平均体育锻炼时间不超过2小时71825每周平均体育锻炼时间超过2小时383775总计4555100100(18?38?7?37)2因为K2??>,45?55?25?75所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样,独立性检验,熟记公式,正确计算是关键,属于中档题.