2024年全国第四届章鱼杯联考高中组数学试题.pdf

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641111???11B项:由期望的线性性,B项等价于<??<,即<1?<,此式显然,故B正确.??????2??????2C项:记事件F[i,t]为进程i在前t秒都失败了,根据独立性和B的结果,,1??1????1??(??[????])≤1?,从而??(??([????])=0)≤1?≤,故C正确.????1??????D项:置事件F[t]为至少存在一个进程,它在前t秒中全部失败,则??(??[??])=??(|????[??])≤∑????(??[??])≤??1?1??=1????=1?????211取???=2[????][??????]得??(??[??])≤?????=,所以在前t?秒每个进程都成功至少一次的概率不小于1?,故0????.【答案】y=2,√2.(第一空2分,第二空3分)【解析】设圆心M(1,2),α为?????????与x轴正方向的夹角,任取一条过M的直线,则七个点到该直线距离的平方和为3∑6sin2??+2????=3×7?3∑6cos2??+4????=??=0722??=073:..这是定值,由垂线段最短和最小二乘法知回归直线方程为y=????设正七边形的边长为a,(????=??=????,∠??????=??,显然∠??????=,∠??????=???.77sin3????7??易知△QFE为等腰,故cos??=.而在△FGQ中由正弦定理,=,2??????sin???73????2sin3??+sin??于是2cos??sin=sin???,解得tan??=7????4??6??1熟知cos+cos+cos=?,故我们有77720=?1?2cos6???2cos4???2cos2??777=?1?2cos6???4cos2???2cos4???cos2??77774?4cos6??1?cos2??7+7cos2??=7+4sin3??sin??+7?7277223????2??=2sin+sin???????√从而tan??=√7,于是cos??=,故==√2??????13.【答案】7936【解析】设共有n个数时符合要求的数列个数是xn,本题要求xg,注意到??=??1????+??3????+??5????+??7????9871835853817??=??1????+??3????+??5????7651633615??=??1????+??3????5431413??=??1??321???=1由此可从下往上计算得???=1,???=2,???=16,???=272,???=7936.,14.【答案】25??2?3??2+18??+48=0(??≠?2),(6271813)(第一空2分,第二空3分,第二空答案不唯一,具体形式见解析)3??【解析】设BC方程为:y=kx+2,显然BD方程为:??=?????+4??,CD方程为:一片??????6??6??2+8??=?3??????+4??,联立BD,CD解得??=,??=.??????2??2??1?3??1?3??6??26??2+826??2+8注意到25?3+18=?48,1?3??21?3??21?3??24:..22故25???3??+18??+48=0.??????而xD=0时k=0,此时yD=8,故(0,-2)??2?3??2+18??+48=0(??≠?2).1()或写成??=3±51+??2??≠???2=??2,从而x是3的倍数,可设x=3w,于是??2?3??2=1(?).若D的横纵坐标均为正整数,可设1+3显然z?=2,w?=1是*的一组解,同时注意到若(z,w)是*的一组解:则((2z+3w,z+2w)也是**的解:(2,1),(7,4),(26,15),(97,56),(362,209),…而x=3w,y=3+5z,故可取x=3×209=627,y=3+5×362=1813,此时x+y=2440>2024,.(1)解:设每个五棱锥的高为h,拼接面与双五棱锥的交集为正五边形,其外接圆半径为??=1,故?=°2sin3650?10√5√1???2=.(3分)105°又底面正五边形的面积为tan54,10所以双五棱锥的体积为4??=2×1×5tan54°×50?10√5=5+√(6分)显然双五棱锥的表面积为∑??=10×√3=5√(8分)故内切球半径为??=3??=5√3+√15.∑??30(10分)(2)解:所求二面角为侧面正三角形与拼接面构成的锐二面角(记为θ)的两倍.?=3???=°√1tan5421?tan2??4√5?5cos2??==.1+tan2??15(13分)5:..16.(1)解:我们考虑更一般的情形:求倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为x?,x?,……,x?,这k名选手是种子选手,即在前面的比赛中两两不能相遇,而且必须在其全部2?(?????)场比赛中获胜.(4分)(??)(?????)2?锦标赛树形的2?片树叶的填写方式有(2?)!种,为使其称为种子,我们有2!2种方式放置()2?(?????)()2??最上面的2个选手,且有(2??2?!种方式放置其他选手,,本??2??2??(2??2)???1题为k=1的情形,故所求概率为.(7分)2???1(2)证明:x;为总冠军的概率是x;为总冠军的所有(2??1)!?与x?+,若x?与xi+1从未在比赛中相遇,则无影响,1???否则改变后的这一特定比赛结果的概率等于用乘以改变前这一结果发生的概率.??(10分)1???注意到<1,因此求和后总概率变小,这表明x?为总冠军的概率大于x?+?为总冠军的概率.??(15分)17.(1)解:设T?,T?分别为地球、?????3??2=1??+????2(2分)于是??32?1?????1??==1≈≈.????+12+1??1(4分)(2):设P(x?,y?),A(x?,y?),B(x?,y?).()()()2()由PA与C?相切可知,直线PA的方程为??+????+??+????=?????.?1(6分)11()(+??)+????=(?????)2.(?2)(8分)由PB与C?相切可知,直线PB的方程为??+????22()()()考虑直线??+?????+??+?????=?????2,由(*1),(*2)知A,B都在这条直线上,所以它就是直线AB.(10分)6:..2????,取???0,则AB到J的距离为??+???2????(??0+??)2,|+????0+2???????|??(??????)=??+??(??+??)2+??200|(???????)??+??2?????3|=0(??+??)??+??????0=??(?????).??+??2????2??(?????)2故AB始终与圆??:??++??2=相切.(15分)3??+????+??2ln??+1′()1?2ln?????218.(1)解:a=0时,??(??)=???,????=.(2分)????2?2(??2+1)()′(??)=<0,于是φ(x)在(0,+∞)????=1?2?????????2,则????又φ(1)=0,故0<x<1时φ(x)>0,x>1时φ(x)<0.(4分)从而f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(5分)(2)解:置:g(x)=2lnx+1,h(x)=x(xe?-a),(6分)′()2′()????2????则????=,???=2???????+????????′()2由??′??=?<0知??2?x?>0,?x>0,g(x)≤g'(x?)(x-x?)+g(x?).(7分)由?′′(??)=2(????+????????)+??(2??????+????2????)>(知()′()()()?????>0,???>0,???≥??????????+????.(8分)由a>0知,存在唯一的x?>0,使得(?????+2???????=??(??)??(??)=2ln??+1???(????????0???)00000=2ln??+1+???????2??????0000=1???????0+2ln??0=1-1=0(9分)7:..又注意到′()′()2????2????????????=?2????0???+??????000??00021???????0+2ln??0=???+????????0+2ln??0??0=0-a+a=0(10分)所以?x>0,我们有??(??)≤??′(???)(??????)+??(???)=?′(???)(??????)+?(???)≤?(??)(12分)即2??????+1≤??(?????????),整理得f(x)≤-a,且等号在ax+2lnx=(x)的最大值为-a.(13分)2,(3)当f(x)有三个极值点时,a的取值范围是?0.(17分)??19.(1)解:依题意得???=2????????????????.(2分)????=2??2??2???3????????3.(4分)设???=??????,则???≥3,??00032??从而q?为常数,由n的任意性知q=1,于是2又由于又q≠0,则(????=2???????,??=2?????.000000等比数列中不能有0,故a?=1,于是(α,β,γ)=(1,1,1),此时an恒为1,满足等比数列的要求.(6分)1+√51?√5√5(????)(8分)(2)解:记??=2+√3,??=2?√3,??=,??=,??=?????.22??5注意到r,s是关于x的一元二次方程??2=??+1的两根,故√5(???1???1???2???2)√5???2()???2()√5(????)??+??=?????+?????=??1+?????1+??=?????=??.???1???2555??(10分)??????+??????下面归纳证明:??=(12分)??2n=0,1,2时,≥3,假设结论对n-1,n-2,n-3成立,8:..注意到??+??=4,????=1,故???=2????????????????=1(????+????)(????+????)?1(????+????)???1???1???2???2???3???322=1(????+????+???????????+???????????????)?1(????+????,??????1???2???2???1???2???2???2???3???322=1(????+????).????2从而结论对n也成立,完成归纳.√7??√5????1√√??1+√5√1+√51+√??综上,??=2+3??1+??}2?}+2?35???2222(17分)