2023-2024学年河南省开封市高考数学(理)模拟试题(二模)含答案.pdf

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得?,?5a?10d?20a?2d?4d?1?1?????1所以数列?a?的通项公式为a?2??n?1??n?③:因为a是a与a的等比中项,所以a?0,由a?S?9??0,可得S?9,73153333?a?d?d?0?设等差数列的公差为,n?a2?aa??a6d?2?a2d??a14d??a?2?????则7315,所以111,得1,???3a?3d?9a?d?3d?1?1?????1?a?a?2??n?1??n?:..(2)令b?2na??n?1?2n,nn则T?b?b?????b?2?21?3?22?4?23??????n?1?2n①,n12n2T?2?22?3?23?4?24??????n?1?2n?1②,n2?12n??①?②得?T?2?21?22?23?????2n??n?1?2n?1?2???n?1?2n?1??n?2n?1,n1?2所以T?n?2n?,随着疫情的结束和天气转暖,被“压抑”已久的出行需求持续释放,“周边游”“乡村游”,等旅游新业态火爆,为旅游行业发展注人了新活力,,调查组对300名不同年龄段的游客进行了问卷调查,得到数据如下表:预订旅游不预订旅游合计16~54岁(含45岁)10045岁以上80合计3007已知在所有被调查的游客中随机抽取1人,(1)请将2?2列联表补充完整,,认为是否预订旅游与年龄有关?请说明理由.(2)以年龄为分层标准,按照分层抽样的方法,从被调查的游客中选取5人,再从这5人中任意选取2人,(ad?bc)2K2?n?a?b?c?d附:,其中.?a?b??c?d??a?c??b?d?P?K2?k?【正确答案】(1)列联表答案见解析,,认为是否预订旅:..游与年龄有关,理由见解析;3(2).5【分析】(1)由题可得不预定旅游的人数,进而可得列联表,然后利用公式可得K2的观测值,即得;(2)【详解】(1)由题可得不预定旅游的人数为300??140,15则列联表补充完整如下:预订旅游不预订旅游合计16~45岁(含45岁)8010018045岁以上8040120合计160140300所以K2的观测值为n(ad?bc)2300?(40?80?80?100)2100k?????,?a?b??c?d??a?c??b?d?160?140?180?,(2)按分层抽样,从被调查的游客中选取5人,16~45岁(含45岁)的人数为5??3,分300120a,b,c5??2x,,45岁以上的人数为,分别记这2人为300从5人中任意选取2人,则有?a,b?,?a,c?,?a,x?,?a,y?,?b,c?,?b,x?,?b,y?,?c,x?,?c,y?,?x,y?,共有10种情况,恰有1人是45岁以上的有?a,x?,?a,y?,?b,x?,?b,y?,?c,x?,?c,y?,共有6种情况,63则2人中恰有1人是45岁以上的概率为P??.,在矩形ABCD中,点E在边CD上,且满足AD?DE?2,CE?1,将VADE沿AE向上翻折,使点D到点P的位置,构成四棱锥P?ABCE.:..(1)若点F在线段AP上,且EF?平面PBC,试确定点F的位置;(2)若PB?7,求四棱锥P?ABCE的体积.【正确答案】(1)点F为线段AP上靠近点P的三等分点;42(2).3【分析】(1)过点F作FG//AB交PB于点G,根据线面平行的性质定理即得;(2)取AE的中点O,利用勾股定理及线面垂直的判定定理可得PO?平面ABCE,然后利用锥体的体积公式即得.【详解】(1)如图,过点F作FG//AB交PB于点G,连接CG,因为FG//AB//EC,所以E,F,G,C四点共面,若EF//平面PBC,由EF?平面EFGC,平面EFGC?平面PBC?CG,1所以EF//CG,所以四边形EFGC为平行四边形,FG?CE?AB,3PFFG1则??,PAAB3所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时,EF//平面PBC.(2)如图,取AE的中点O,连接OB,取BC的中点M,连接OM,则OM?2,BM?1,所以OB?5,又PA?PE?2,则OA?OE?OP?2,又PB?7,则OB2?OP2?PB2,所以PO??AE,PO?OB,AE?OB?O,AE,OB?平面ABCE,:..所以PO?平面ABCE,1?1?3??242则四棱锥P?ABCE的体积为V??2??.:??1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为2x?y?0,且双曲线经过点A?2,2?.a2b2(1)求双曲线C的方程;B?1,0?M,N(2)过点且斜率不为0的直线与C交于两点(与点A不重合),直线AM,AN分别与直线PBx?1交于点P,Q,【正确答案】(1)??1;24PB(2)?【分析】(1)由题得??1,?2,进而即得;a2b2a(2)设直线MN的方程为x?my?1,联立双曲线方程,根据直线AM,AN的方程表示出y,【详解】(1)由题意可知??1,?2,a2b2a解得a?2,b?2,x2y2所以双曲线的方程为??(2)设直线MN的方程为x?my?1,代入??1中,24?2m2?1?y2?4my?2?0M?x,y?,N?x,y?可得,设,1122?4m?2则2m2?1?0,Δ?32m2?8?0,y?y?,yy?.122m2?1122m2?1:..y?2y?1?x?2??2直线AM的方程为,x?212?yy?1?2令x?1,得点P的纵坐标为,Px?21y?2y?2?x?2??2直线AN的方程为,x?222?yQy?2?2令x?1,得点的纵坐标为Q,x?22?16m2?42?y2?y?2myy??2m?1??y?y??42211212m?4因为1?2????,x?2x?2?my?1??my?1?4m2?112122m2?1PB所以y?y?0,即?:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为?x,y?,?x,y?;1122xy(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算?;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x?x、xx(或y?y、yy)的形式;12121212(5)?x???lnx?ax,?x?(1)当a?1时,求的单调区间;xg?x??f?x??x,x?x?x?x?x?e2(2)若函数有两个零点,【正确答案】(1)单调递增区间为?0,1?,单调递减区间为?1,???(2)证明见解析x【分析】(1)将a?1代入后得f?x???lnx?x,对其求导,利用导数与函数的单调性即可得解;ex?x?22?1??xxlnx?ax,lnx?axx?x?e2变形为ln2?1?(2)由题意得,从而利用分析法将?,构造函112212xx11?2x12?t?1?数h?t??lnt??t?1?,利用导数证得h?t??0,?1xf?x???x?xf?x??0,???【详解】(1)当a?1时,ln,的定义域为,ex:..1?x1?11?则f??x????1??1?x??,ex?ex?x?x?11因为x?0,则x,所以??0,e?1?0exxf￠(x)>0f?x?x?1f??x??0f?x?当0?x?1时,,则单调递增;当时,,则单调递减;所以f?x?的单调递增区间为?0,1?,单调递减区间为?1,???.xg?x??f?x???x?axg?x??g?x?(2)若函数ln有两个零点,则,eax12lnx?lnx即lnx?ax,lnx?ax,两式相减,可得a?21,两式相加得lnx?lnx?a?x?x?,1122x?x1212212x?x?e2,只要证lnx?lnx?2a?x?x??2a?要证,即证,即证,121212x?x12?x?22?12?xx???lnx?lnx2?xx21lnx?lnx?21ln?1?只须证?,即证,即证2?,x?xx?x21x?xxx21121211?2x1x2?t?1?令t?2,则由0?x?x得,故须证lnt?,t?1x12t11?2?t?1?(t?1)2令h?t??lnt??t?1?,则h??t??,t?1t(t?1)2h??t??0h?t??1,???当t?1时,,所以在上单调递增,2?t?1?所以当t?1时,h?t??h?1??0,即lnt?成立,t?1故原不等式x?x?:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.?x?tcos?,,圆C是以?2,2?t为圆心,3为半径的圆,直线l的参数方程为?(y?tsin??为参数,0???π),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出圆C的极坐标方程;(2)已知直线l与圆C相交于M,NOM2?ON2?14,求角?.两点,且【正确答案】(1)?2?4?cos??4?sin??5?0:..π5π(2)??或??1212【分析】(1)先求圆的直角坐标方程,然后直接化为极坐标方程即可;(2)先把直线方程化为极坐标方程,然后联立直线的极坐标方程和圆的极坐标方程,利用?的几何意义即可解答.【详解】(1)由题意知圆C的方程为(x?2)2?(y?2)2?3,即x2?y2?4x?4y?5?0,?x??cos?将代入得圆C的极坐标方程为?2?4?cos??4?sin??5?0.?y??sin??(2)由题知直线l的极坐标方程为??????R?,设M??,??,N??,??,12??2?4?cos??4?sin??5?0,?2??4cos??4sin????5?0联立?可得,???,?1且??(4cos??4sin?)2?20?0,即sin2??,4????4cos??4sin?,???5由韦达定理得,1212OM2?ON2??2??2??????2?2???(4cos??4sin?)2?10?6?16sin2??14,则12121211π5ππ5π所以sin2???,又0???π,所以0?2??2π,则2??或2??,所以??或??.?x??x?ax??x??10(1)若a?3,求不等式的解集;(2)若关于x的不等式f?x??2x?2x?2在上恒成立,??1,4?【正确答案】(1);(2)1.【分析】(1)分类讨论解绝对值不等式即得;x?2x?2(2)根据参变分离可得a?恒成立,然后构造函数利用绝对值三角不等式结合条件即x?2得,【详解】(1)若,则不等式f?x??10可化为x?3x?2??3当x?0时,?x?3?x?2??10,即x??1,所以?1?x?0;:..当0?x?2时,x?3?x?2??10,即x??2,所以0?x?2;当x?2时,x?3?x?2??10,即x?4,所以2?x?4.??1,4?.综上所述,原不等式的解集为(2)由题知f?x??2x?2x?2在上恒成立,R即x?ax?2?2x?2x?2在R上恒成立,即ax?2?x?2x?2在上恒成立,R当x?2时,0?4,即无论a取何值,不等式恒成立,x?2x?2x?2x?2?0a?当时,,则恒成立,x?2x?2x?2g?x??设,x?2又x?2x?2??2x?2??x?x?2,当且仅当?2x?2?x?0,即0?x?1时取等号,所以g?x??1,则a?1,所以实数a的最大值为1.