上海师大附中2024年数学高三上期末达标检测模拟试题含解析.pdf

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;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;、A【解题分析】分析:题设的直线与抛物线是相离的,d?d可以化成d?1?d?1,其中d?1是点P到准线的距离,也就是P到12121焦点的距离,这样我们从几何意义得到d?1?d的最小值,从而得到d??y2?4x详解:由?①得到3y2?16y?48?0,??256?12?48?0,故①无解,?3x?4y?12?0所以直线3x?4y?12??d?d?1?d?1,1212d?1x??1d?1F?1,0?而为P到准线的距离,故为P到焦点的距离,111?3?0?4?12从而d?1?d的最小值为F到直线3x?4y?12?0的距离?3,12223?4故d?d的最小值为2,:抛物线中与线段的长度相关的最值问题,、D【解题分析】????xf??x?f?x?2fxfx?2??????g??x??0g?x?根据f'x?的结构形式,设gx?,求导g?x?,则,在xx2x33????0,????A?0??B?0??C?上是增函数,再根据在?ABC中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得444cos?C?sin?Bg?x?到,再利用的单调性求解.【题目详解】f?x?设g?x??,x2:..xf??x?f?x??2g??x?所以?,x32f?x?因为当x?0时,f'?x??,xxf??x?f?x??2即?0,xg??x??0g?x??0,???所以,在上是增函数,3???在?ABC中,因为?A?,所以0??B?,0??C?,444?????因为cos?C?sin???B?,且0??B???B?,?4?42???所以sin?B?sin???B?,?4?即cos?C?sin?B,f?cosC?f?sinB?所以?,cos2Csin2Bf?cosC?sin2B?f?sinB?cos2C即故选:D【题目点拨】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。?2?13、?,????3?【解题分析】设PF?s,PF?t,由椭圆和双曲线的定义得到s?a?m,t?a?m,根据?PFF是以PF为底边的等腰12121111三角形,得到t?a?m?2c,从而有??2,根据e?1,得到?e?1,再利用导数法求ee231122e2y?e?e?2e?e??2e1【题目详解】:..设PF?s,PF?t,12由椭圆的定义得s?t?2a,由双曲线的定义得s?t?2m,所以s?a?m,t?a?m,因为?PFF是以PF为底边的等腰三角形,121所以FF?PF?2c,122即t?a?m?2c,cc因为e?,e?,1a2m11所以??2,ee121因为e?1,所以0??1,2e211所以?2??3,ee121即?e?1,312e2而y?e?e?2e?e?1,21211?2e14e(1?e)y??11?0因为,?1?2e?21?1?y,1所以在??上递增,?3?2所以y?.3?2?故答案为:?,????3?【题目点拨】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和几何性质,还考查了运算求解的能力,、1.【解题分析】:..试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=:排列、:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,、55【解题分析】根据该For语句的功能,可得S?1?2?3?...?10,可得结果【题目详解】根据该For语句的功能,可得S?1?2?3?...?10?1?10??10则S??552故答案为:55【题目点拨】本题考查For语句的功能,、④【解题分析】根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【题目详解】对于①,当m∥n时,由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出m∥α,①错误;对于②,当m?α,n?α,且m∥β,n∥β时,由两平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②错误;对于③,当α∥β,且m?α,n?β时,由两平面平行的性质定理,不能得出m∥n,③错误;对于④,当α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n⊥β,④正确;综上知,正确命题的序号是④.故答案为:④.【题目点拨】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。117、(1)见解析;(2).6:..【解题分析】(1)利用中位线的性质得出PA//MN,然后利用线面平行的判定定理可证明出PA//平面MNC;(2)以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设AD?2,利用空间向量法可求得直线PB与平面MNC所成角的正弦值.【题目详解】(1)因为M、N分别为AD、PD的中点,所以PA//?平面MNC,MN?平面MNC,所以PA//平面MNC;DDADCDPxyzD?xyzAD?2(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,B?2,2,0?C?0,2,0?P?0,0,4?M?1,0,0?N?0,0,2?则,,,,,PB??2,2,?4?NC??0,2,?2?MN???1,0,2?,,.设平面MNC的法向量为n??x,y,z?,?n?MN?0??x?2z?0z?1x?2y?1n??2,1,1?则?,即?,令,则,,所以.?n?NC?0?2y?2z?0n?PB1设直线PB与平面MNC所成角为?,所以sin??cos?n,PB???.n?PB61因此,【题目点拨】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角,考查推理能力与计算能力,???18、(1)?,???0,?;(2)?cos??2?:..【解题分析】278(1)过A作PC的垂线,垂足为C,易得AP?,BP?,进一步可得L;sin?cos?278???(2)利用导数求L(?)??,??0,得最大值即可.??sin?cos??2?【题目详解】(1)如图,过A作PC的垂线,垂足为C,在直角△APC中,?APC??,278AC?27cm,所以AP?cm,同理BP?cm,sin?cos?278???L??,???0,?.sin?cos??2?278???(2)设L(?)??,???0,?,sin?cos??2?27cos?8sin?8sin3??27cos3?则L'(?)????,sin2?cos2?sin2?cos2?273L'????03?tan??令,则tan?,???3设??0,,且tan??,则??0?2?023???0,??tan??,L'(?)?0L(?)当时,,所以单调递减;02???3当????,?时,tan??,L'(?)?0,所以L(?)单调递增,?02?2所以当???时,L(?)取得极小值,0所以L(?)?L???.min033因为tan??,所以sin??cos?,又sin2??cos2??1,02020004???所以cos2??,又??0,,??0130?2?:..23所以cos??,所以sin??,013013278L??????1313(cm)所以,0sin?cos?00所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm.【题目点拨】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,、(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解题分析】(1)m?1,求出f?(x)单调区间,进而求出f(x)≥0,即可证明结论;min(2)对f?(x)?0(或f?(x)?0)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出f?(x)?0,f?(x)?0的解,即可求出结论;11(3)令h(x)??,x?(1,??),可证h(x)?0,x?(1,??)恒成立,而f(1)?0,由(2)得,m?0,f(x)在(1,??)xex?1?1?为减函数,0?m?1,f(x)在?1,?上单调递减,在(1,??)都存在f(x)?0,不满足f(x)?g(x),当m?1时,?m?1??11设F(x)?mx2?1?lnx??,且F(1)?0,只需求出F(x)在(1,??)?1【题目详解】1??(1)m?1,f(x)?x2?1?lnx(x?0),21x2?1f?(x)???x?,当x?(0,1)时,f?(x)?0,xx当x?(1,??)时,f?(x)?0,∴f(x)?f(1)?0,故f(x)??1(2)由题知,x?0,f?(x)???mx?,xxmx2?1①当m?0时,f?(x)??0,x所以f(x)在(0,??)上单调递减,没有极值;mx2?11②当m?0时,f?(x)??0,得x?,xm:..?1??1?当x?0,时,f?(x)?0;当x?,??时,f?(x)?0,?????m??m??1??1?所以f(x)在?0,?上单调递减,在?,???上单调递增.?nn??m?1?1?111故f(x)在x?处取得极小值f?lnm??m,无极大值.??m?m?22211ex?1?x(3)不妨令h(x)???,xex?1xex?1设u(x)?ex?1?x,x?(1,??),u?(x)?ex?1?1?0在(1,??)恒成立,u(x)在[1,??)单调递增,?u(x)?u(1)?0,?ex?1?x?0在(1,??)恒成立,所以,当x?(1,??)时,h(x)?0,由(2)知,当m?0,x?1时,f(x)在(1,??)上单调递减,f(x)?f(1)?0恒成立;11所以不等式f(x)??在(1,??)上恒成立,只能m??11?1?当0?m?1时,?1,由(1)知f(x)在1,上单调递减,??m?m??1?所以f???f(1)?0,不满足题意.?m?1??11当m?1时,设F(x)?mx2?1?lnx??,2xex?111因为m?1,x?1,所以mx?x,ex?1?1,0??1,?1???0,ex?1ex?111111x3?x2?x?1F?(x)???mx?????x??1?,xx2ex?1xx2x2?2?(x?1)x?1即F?(x)??0,x2所以F(x)在(1,??)上单调递增,:..又F(1)?0,所以x?(1,??)时,F(x)?0恒成立,即f(x)?h(x)?0恒成立,11故存在m?1,使得不等式f(x)??在(1,??)上恒成立,xex?1此时m的最小值是1.【题目点拨】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明,考查分类讨论思想,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,、(1)见解析(2)?5【解题分析】(1)连结BM,推导出BC⊥BB,AA⊥BC,从而AA⊥MC,进而AA⊥平面BCM,AA⊥MB,推导出四边形AMNP11111是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA是等腰直角三角形,设AB?2a,则AA=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA,111BM⊥AA,以M为坐标原点,MA,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣11CM﹣N的余弦值.【题目详解】(1)如图1,在三棱柱ABC?ABC中,连结BM,B是矩形,11111所以BC?BB,因为AA//BB,所以AA?BC,1111又因为AA?MC,BC?MC?C,所以AA?平面BCM,11所以AA?MB,又因为AB?AB,所以M是AA中点,1111取BC中点P,连结NP,AP,因为N是BC的中点,则NP//BB且NP?BB,1121所以NP//MA且NP?MA,所以四边形AMNP是平行四边形,所以MN//AP,又因为MN?平面ABC,AP?平面ABC,所以MN//平面ABC.:..(图1)(图2)(2)因为AB?AB,所以?ABA是等腰直角三角形,设AB?2a,11则AA?2a,BM?AM??ACM中,AC?2a,所以MC??BCM中,CM2?BM2?2a2?BC2,所以MC?BM,1MC?AABM?AA2MMAxy由()知,则,,如图,以为坐标原点,,MB,MC的方向分别为轴,轴,111z轴的正方向建立空间直角坐标系,M?0,0,0?C?0,0,a?B?2a,a,0?则,,.1?aa??aa?Na,,MC??0,0,a?MN?a,,所以??,则,??,?22??22?n??x,y,z?设平面CMN的法向量为,1?az?0,????n?MC?0,?则?1即?aa????n?MN?0,ax?y?z???22x?1y??2CMNn??1,?2,0?