考点20空间向量.doc

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-让每个人平等地提升自我C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA'=(-2,2,22),FD=(6,0,0).设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,所以2x2y22z0。6x0取z2,则n(0,2,2)。又平面BEF的一个法向量m(0,0,1),故cosn,mnm3nm。3所以二面角的余弦值为33(Ⅱ)设FMx,BNa,则M(4x,0,0),N(a,8,0),因为翻折后,C与A'重合,所以CMA'A'N,(6x)2822(22222113故,0=2x)(22),得x(10a)2(2a)262(22)2,a,44所以FM214。方法二:(Ⅰ)取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A'G,A'H,GH。因为A'E=A'F及H是EF的中点,所以A'HEF。又因为平面A'EF平面BEF,所以A'H平面BEF,又AF平面BEF,故A'HAF。又因为G、H是AF、EF的中点,易知GH∥AB,所以GHAF,于是AF面A'GH,所以A'GH为二面角A'DHC的平面角,在RtA'GH中,A'H=22,GH=2,A'G=23,所以cosA''DFC的余弦值为3。3(Ⅱ)设FMx,因为翻折后, C与A'重合,所以CMA'M,而CM2DC2DM282(6x)2,- -让每个人平等地提升自我A'M2A'H2MH2A'H2MG2GH2(22)2+(x2)2+2221,经检验,此时点N在线段BC上,所以FM21得x。44【方法技巧】1、利用向量法解决立体几何问题关键是建系,一般要找到三个互相垂直的直线建系,这种方法思路相对简单,但计算量大;2、翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量,看好点、线、面等元素间位置关系的变化。3.(2010·陕西高考理科·T18)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面 BEF与平面BAP夹角的大小。【命题立意】 本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】 思路一:建立空间直角坐标系,利用空间向量求解;思路二:利用几何法求解.【规范解答】解法一(Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵=,=2,四边形ABCDAPAB=2BC2是矩形.∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2)又E,F分别是AD,PC的中点,∴E(0,2,0),F(1,2,1).∴PC(,22,-2)BF(,2,)EF(1,0,1),=2=-11=PC·BF=-2+4-2=0,PC·EF=2+0-2=0,PC⊥BF,PC⊥EF,PC⊥BF,PC⊥EF,BFEFF,∴PC⊥平面BEF(II)由(I)知平面 BEF的法向量n1 PC (2,2 2,2),- -让每个人平等地提升自我平面BAP的法向量n2AD(0,22,0),n1n28,设平面BEF与平面BAP的夹角为,n1n282则coscosn1,n2n2422,n12450,∴平面BEF与平面BAP的夹角为450解法二 (I)连接PE,EC在Rt PAE,RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE, 即 PEC是等腰三角形,又F是PC的中点,∴EF⊥PC,又BP AP2 AB2 22 BC,F是PC的中点,BF EF F, PC 平面BEF.(Ⅱ)因为 PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又底面ABCD是矩形,所以 AB⊥BCBC 平面BAP,BC PB,又由(1)知PC 平面BEF,∴直线PC与BC的夹角即为平面 BEF与平面BAF的夹角;在△PBC中,PB=BC, PBC 900, PCB 450,所以平面 BEF与平面BAF的夹角为450。14.(2010·辽宁高考理科· T19)已知三棱锥 P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,2AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】 建系,写出有关点坐标、向量的坐标,I)计算CM、SN的数量积,写出答案;II)求平面CMN的法向量,求线面角的余弦,求线面角,写出答案。【规范解答】设PA=1,以A为原点,射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,如图。则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,1),N(1,0,0),S(1,1,0)222(I)- -让每个人平等地提升自我CM(1,1111,),SN(,,0),222110因为CMSN022所以CMSN(II)NC(1,1,0),2设a(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,xyz0则2令x2,得a(2,1,2)1xy02-1-12因为|cosaSN|=22232所SN与平面CMN所成的角为45o【方法技巧】(1)空间中证明线线,线面垂直,经常用向量法。2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。3)线面角的范围是0°~90°,因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的,要取绝对值。(2010·安徽高考理科·T18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF FB,AB 2EF, BFC 90,BF FC,H为BC的中点。E FD C(1) 求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC 平面EDB;GHA B求二面角BDEC的大小。【命题立意】 本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】 可以采用综合法证明,亦可采用向量法证明。【规范解答】 综合法证明如下:(1)设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,由于H为的中点,故1BCGH//AB,2E FD C又EF//1AB, 四边形EFHG为平行四边形GH2EG//FH,而EG平面,平面EDBEDBFH//A --让每个人平等地提升自我()由四边形ABCD为正方形,有ABBC,又EF//AB,2EFBC,而EF,且BCFBB,FBEF平面BFC,EFFH,,H为的中点,,FH平面ABCD,,EG,FH//EGAC又ACBD,EGBDGAC平面EDB(3)EFFB,BFC90,BF平面CDEF,,EFDE平面FKBDC则FKB为二面角B-DE-C的一个平面角。GH设EF1,则AB2,FC2,DE3AB又EF//DC,KEFEDC,sinKEFsinEDCFC2,DE3FKEFsinKEF2,tanFKBBF3,3FKFKB=60,即二面角B-DE-C为60。向量法证明如下:四边形为正方形,ABBC,又EFFB,EF//AB,ABFB,且BC,ABCDFBBAB平面FBC,ABFH,Z又BF FC,H为BC中点,FH BC,且AB BC B,E FDCFH ,以H为坐标原点,分别以HB、GH、HF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系,HGA BXY令BH 1,则A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0, 1,1),F(0,0,1).(1)设AC与BD的交点为G,连接GE、GH,则G(0,-1,0),GE(0,0,1),又HF(0,0,1),GE//HFGE 平面EDB,HF 平面EDB, HF//平面EDB(2)- -让每个人平等地提升自我AC(2,2,0),GE(0,0,1),ACGEGE0,,且GEBD=G,AC平面EBD.(3)设平面BDE的法向量为n1(1,y,z),11BE(1,1,1),BD(2,2,0).由BEn101y1z101,z10,BDn1,即22y10,得y10n1(1,1,0)设平面CDE的法向量为n2(1,y2,z2),CD(0,2,0),CE(1,1,1).由CDn20y20,得y20,z21,CEn2,即y2z2010n2(,)10,-1cosn1,n2n1n211|n1||n2|22,2n1,n260,即二面角B-DE-C为60。【方法技巧】 1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行;2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直;3、确定二面角的大小,可以先构造二面角的平面角,然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题,也可以采用向量法建立空间直角坐标系,转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题,思路简单,易于操作,推荐使用。6.(2010·山东高考理科·T19)如图,在五棱锥—中,PPABCDEPA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,ABC=450,AB=22,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求证:平面⊥平面;AEPCDPACD(2)求直线PB与平面所成角的大小;PCDBC(3)求四棱锥—【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 .【思路点拨】(1)根据所给数据,通过计算证明 AB AC;(2)方法一:先证明 AB平行于平面PCD,- -让每个人平等地提升自我是点B到平面PCD的距离的距离等于点A到平面PCD的距离,据此可求线面角;方法二:利用空间向量求线面角;(3)先判断出四边形ACDE的形状,并求出其面积,再根据PA⊥平面ABCDE得高即为PA,)因为ABC=45°,AB=22,BC=4ABC中,由余弦定理得:【规范解答】(,所以在AC2=(22)2+42-2224cos45=8,解得AC=22,所以AB2+AC2=8+8=16=BC2,即ABAC,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥AB,又PAACA,所以AB平面PAC,又∥,所以CD平面PAC,又因为ABCDCD平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC;(2)方法一:由(1)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作AHPC于H,则AH平面PCD,又AB∥CD,AB平面PCD内,所以AB平行于平面PCD,△PABPA=AB=22,因此PB=4,在Rt△是等腰三角形,所以PAC中,PA=22,AC=22,所以PC=4,故PC边上的高AH=2,此即为点A到平面PCD的距离,设直线与平面所成角为,所以sinh210,,所以,即直线PBPBPCD,又PB42与平26面PCD所成角的大小为;6方法二:由(1)知AB,AC,AP两两相互垂直,分别以AB,AC,AP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由于△PAB是等腰三角形,所以PA=AB=22,又AC=22,因此A(0,0,0),B(22,0,0),C,22,0),P,22),因为CDAC,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,因(0(0,0为AE=2,AE∥BC,所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°.故CDAEsin45222,所以2D(-2,22,0).因此CP(0,22,22),CD(2,0,0),设m(x,y,z)是平面PCD的一个法向量,则mCP0,mCD0,解得x0,yz,取y1,得m(0,1,1),又BP(22,0,22),设表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角,则cosmBP1,所以,- -让每个人平等地提升自我成角的大小为 .6(3)由(1)知CD平面PAC,所以CDAC,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,因为AE=2,∠ABC=45°,AE∥BC,所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°.故CDAEsin4522,EDACAEcos4522,所以四边形ACDE的面222222123,又PA⊥平面ABCDE,所以四棱锥1积为(222)P—ACDE的体积为223=(2010·天津高考理科·T19)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、1上的点,CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;(2) 证明AF 平面 A1ED(3) 求二面角 A1 ED F的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】方法一:以A为坐标原点,AB所在直线为 X轴,AD所在直线为 Y轴建立空间直角坐标系 (如图所示),设AB1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,3,021EFA1D3(1)易得EF0,,1,A1D(0,2,4),于是cosEF,A1DA1D,2EF5所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为3。- -让每个人平等地提升自我(2)证明:已知AF(1,2,1),EA11,3,4,ED1,1,022于是AF·EA1=0,AF·ED=,AFEA1,AFED,又EA1EDE所以AF平面A1ED1z0(3)解:设平面EFD的法向量uuEF0y(x,y,z),则,即21uED0xy02不妨令X=1,可得u(1,21)。由(2)可知,AF为平面A1ED的一个法向量。于是cosu,AF=u?AF=2,从而sinu,AF=5|u|AF|33所以二面角A1-ED-F的正弦值为53方法二:(1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF==12链接BC,BC,设BC与BC交于点M,易知AD∥BC,由CECF1可知EF∥==,111111CBCC141线EF与AD所成的角,易知1BM=CM=B1C=5,12所以cosBMCBM2CM2BC232BMCM,5所以异面直线FE与AD所成角的余弦值为315(2)连接AC,设AC与DE交点N因为CDEC1,BCAB2所以RtDCERtCBA,从而CDEBCA,又由于CDECED90,所以BCACED90,故AC⊥DE,1⊥1ACC,所以DE⊥平面ACF,从而AF⊥,同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为DEA1DD,所以AF⊥平面A1ED(3)连接,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF,10