北京市第二十中学2024届下学期高三数学试题联考试卷.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..北京市第二十中学2024届下学期高三数学试题联考试卷请考生注意:,。写在试题卷、草稿纸上均无效。,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,,,,a表示其面积,S为△OKL的面积,将Gini?:①Gini越小,则国民分配越公平;f(x)②设劳伦茨曲线对应的函数为y?f(x),则对?x?(0,1),均有?1;x1③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y?x2(x?[0,1]),则Gini?;41④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y?x3(x?[0,1]),则Gini?.2其中正确的是:A.①④B.②③C.①③④D.①②④-ABCD中,四边形ABCD为等腰梯形,AD//BC,?BAD?120?,ΔSAD是等边三角形,且SA?AB?23;若点P在四棱锥S-ABCD的外接球面上运动,记点P到平面ABCD的距离为d,若平面SAD?平面ABCD,则d的最大值为()????2:..1?0,???f(x)f(x)?f(x?2)x??0,2?f(x)??x2?2xf(x),且当时,.设在2?2n?2,2n?a?a?nSn上的最大值为(n?N*),?S?1??2n?9k恒成立,则实数的取值范围为()n?1??3??7??0,???,??,??,??.??C.??D.???32??64??64?《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若?取3,(平方寸),则图中x的值为()?(2?i)(1?i)(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(),3个黄球,3个白球,且每种颜色的三个球均按A,B,C编号,现从中摸出3个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好不同时包含字母A,B,C的概率为()?0,x?1f?x??f?x??x?kx??,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()?lnx,x?1???,1??1,????0,1???1,0?.?a,a??b??,已知函数f(x)?,g(x)?,则函数F(x)?f(x)?g(x)的最小值?b,a?b2?sin2x2?cos2x为(),则的共轭复数在复平面对应的点位于():..?ABC中,C?30?,cosA??,AC?15?2,则AC边上的高为()??1?i,z为z的共轭复数,则?()z3?i1?i1?3i1?:x?m2y?0与直线n:x?y?m?0则“l//n”是“m?1”的()、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。55S?a?nSa?a?a?a?6=,,且,?ABC的边长为2,?2x?x?4?2?y2?,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,?PO,,己知半圆O的直径AB?8,点P是弦AC(包含端点A,C)上的动点,?OAC是等边三角形,且满足OQ·OP?0,则OP·、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE?平面ABCD.:..(1)证明:平面AEC?平面BED;86(2)若?BAD?60?,AE?EC,三棱锥E?ACD的体积为,.(12分)已知椭圆E:??1(a?b?0)的左、右焦点分别为F和F,右顶点为A,且AF?3,短轴a2b2121长为23.(1)求椭圆E的方程;(2)若过点A作垂直x轴的直线l,点T为直线l上纵坐标不为零的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆E于点P和22TF72Q,当2?时,求此时四边形TPFQ的面积.|PQ|241?1x?t,??219.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?(t为参数),在以坐标原点O为极?3y?t?2,????2???点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是??42sin????.?4?(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B,?x???x?2?ex?a?x?1?2g?x??x?lnx20.(12分)已知函数,其中a?R,.f?x?(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,?x??f?x??g?x?x?1(2)若在处取得极大值,?x??ax?lnx(a?R)21.(12分)已知函数有两个零点x,(1)求a的取值范围;?x,xx??x?(1??)x?0f'?x??0(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?12012若存在,求出所有?的值;若不存在,请说明理由.:..f?x?f?x??xf?x?22.(10分)若函数在x处有极值,且,则称x为函数的“F点”.0000f?x??kx2?2lnx(1)设函数(k?R).k?1f?x?①当时,求函数的极值;f?x?②若函数存在“F点”,求k的值;g?x??ax3?bx2?cxa?0xxg?x??g?x??1(2)已知函数(a,b,c?R,)存在两个不相等的“F点”,,且,、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。【解题分析】a对于①,根据基尼系数公式Gini?,可得基尼系数越小,不平等区域的面积a越小,国民分配越公平,所以①(x)对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得?x?(0,1),均有f(x)?x,可得?1,所以②③,因为a??(x?x2)dx?(x2?x3)|1?,所以Gini???,所以③④,因为02306S13211111a41a??(x?x3)dx?(x2?x4)|1?,所以Gini???,所以④【解题分析】根据平面SAD?平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,则球心在过BC的中点E的面的垂线上,又ΔSAD是等边三角形,所以球心也在过?SAD的外心F面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【题目详解】依题意如图所示::..取BC的中点E,则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心,取F是?SAD的外心,作OE?平面ABCD,OF?平面SAB,则O是四棱锥S?ABCD的外接球球心,且OF?3,SF?2,设四棱锥S?ABCD的外接球半径为R,则R2?SF2?OF2?13,而OE?1,所以d?R?OE?13?1,max故选:A.【题目点拨】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,【解题分析】2n?9由已知先求出f(x)?2n?1,即a2n1,进一步可得S?2n?1,再将所求问题转化为k?对于任意正整maxnn2n2n?9数n恒成立,设c?,只需找到数列{c}【题目详解】当2n?2?x?2n时,则0?x?2?2n?2,f(x?2?2n)??(x?2?2n)(x?2n),所以,f(x)?2n?1f[x?2(n?1)]??2n?1(x?2?2n)(x?2n),显然当x?2n?1时,1?(1?2n)f(x)?2n?1,故a2n1,S??2n?1,若对于任意正整数n不等式maxnn1?22n?9k?S?1??2n?9nnk?恒成立,即k2?2n?9对于任意正整数恒成立,即对于任n2n2n?911?2n11?2n11意正整数n恒成立,设c?,c?c?,令?0,解得n?,n2nn?1n2n?12n?1211?2n11令?0,解得n?,考虑到n?N*,故有当n?5时,{c}单调递增,2n?12n:..33当n?6时,有{c}单调递减,故数列{c}的最大值为c??,nn626643所以k?.64故选:C.【题目点拨】本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识,【解题分析】根据三视图即可求得几何体表面积,即可解得未知数.【题目详解】由图可知,该几何体是由一个长宽高分别为x,3,1和1一个底面半径为,??x?3x?3??????x??,解得x?4,故选:D.【题目点拨】本题考查由三视图还原几何体,以及圆柱和长方体表面积的求解,【解题分析】将z整理成a?bi的形式,得到复数所对应的的点,从而可选出所在象限.【题目详解】z?(2?i)(1?i)?2?i2?3i?1?3iz?1,3?解:,:A.【题目点拨】本题考查了复数的乘法运算,【解题分析】首先求出基本事件总数,则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,:..B,C”,记事件“恰好不同时包含字母A,B,C”为E,利用对立事件的概率公式计算可得;【题目详解】解:从9个球中摸出3个球,则基本事件总数为C3?84(个),9则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,C”3319记事件“恰好不同时包含字母A,B,C”为E,则P(E)?1??.C3289故选:B【题目点拨】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了排列组合的知识,解答的关键在于正确理解题意,【解题分析】?0,x?1f?x?(1,0)f?x??g(x)?x?k先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数?和的图象,?lnx,x?1利用数形结合进行求解即可.【题目详解】1x?1f?x??lnx,?f'(x)??f'(1)?1f?x?(1,0)y?x?1当时,,所以函数在处的切线方程为:,令xg(x)?x?k,它与横轴的交点坐标为(k,0).?0,x?1f?x??g(x)?x?k在同一直角坐标系内画出函数?和的图象如下图的所示:?lnx,x?1:..f?x??x?kx?Rk?1利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,:A【题目点拨】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,【解题分析】根据分段函数的定义得F(x)?f(x),F(x)?g(x),则2F(x)?f(x)?g(x),再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【题目详解】依题意得F(x)?f(x),F(x)?g(x),则2F(x)?f(x)?g(x),11111f(x)?g(x)???(?)[(2?sin2x)?(2?cos2x)]2?sin2x2?cos2x32?sin2x2?cos2x12?cos2x2?sin2x12?cos2x2?sin2x42?cos2x2?sin2x?(2??)?(2?2?)?(当且仅当?,即32?sin2x2?cos2x32?sin2x2?cos2x32?sin2x2?cos2x1242sin2x?cos2x?时“?”,f(x)?g(x)?,?2F(x)?,?F(x)的最小值为,2333故选:A.【题目点拨】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出2F(x)?f(x)?g(x),再由基本不等式求得最值,【解题分析】分析:根据复数的运算,求得复数,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,:由题意,复数,则所以复数在复平面内对应的点的坐标为,位于复平面内的第三象限,:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键,【解题分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,求得BC边长,由此求得AC边上的高.【题目详解】:..25过B作BD?CA,??,所以A为钝角,且sinA?1?cos2A?,所以33????532115?2sin?CBA?sin???CBA?sinA?C?sinAcosC?cosAsinC?????.在三角形32326BC15?2ab?ABC中,由正弦定理得?,即515?2,所以BC??BCD中有sinAsinB361BD?BCsinC?25??5,:C【题目点拨】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,【解题分析】求出z,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【题目详解】1?z2?i1?3i??.z1?i2故选:C【题目点拨】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,【解题分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【题目详解】若l//n,则1?1?m2?1,故m?1或m??1,当m?1时,直线l:x?y?0,直线n:x?y?1?0,此时两条直线平行;:..当m??1时,直线l:x+y?0,直线n:x?y?1?0,//n时,推不出m?1,故“l//n”是“m?1”的不充分条件,当m?1时,可以推出l//n,故“l//n”是“m?1”的必要条件,故选:B.【题目点拨】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断,前者应根据系数关系来考虑,后者依据两个条件之间的推出关系,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。【解题分析】a?a1q?24??a?nS由题意知,?a2nn13【题目详解】a(1?q6)111?()6a?a1S1?q1?q6q?24?2解:由题意知,所以6?????a2aaq5q5(1?q)11361()62故答案为:63.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,.?1【解题分析】建立直角坐标系,结合向量的坐标运算求解AB在BC方向上的投影即可.【题目详解】??A?0,0?B?2,0?C1,3建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知:,,,??则:AB??2,0?,BC??1,3,AB?BC??2且AB?2,BC?10,AB?BC?2???:..【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,向量投影的定义与计算等知识,【解题分析】P?p,2p?PT?POp作出图像,设点,根据已知可得PC2,PT2?PC2?TC2,且,可解出,计算即得.【题目详解】P?p,2p?(4,0)2??222如图,设,圆心坐标为,可得PC?p?4?4p?5p?8p?16,PT2?PC2?TC2?5p2?8p?8,PO2?5p2,PT?PO,?5p2?8p?8?5p2,解得p?1,?PC2?5p2?8p?16?13,:13【题目点拨】:..本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,【解题分析】建系,设AP?m,表示出P点坐标,则OPBQ?OP(OQ?OB)??OPOB?16?2m,根据m的范围得出答案.【题目详解】解:以O为原点建立平面坐标系如图所示:则A(?4,0),B(4,0),C(?2,23),13设AP?m(0m4),则P(m?4,m),2213?OP?(m?4,m),OB?(4,0),22OQOP?0,?OPBQ?OP(OQ?OB)??OPOB?16?2m,显然当m取得最大值4时,:1.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积运算,坐标运算,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2)1【解题分析】(1)由菱形的性质和线面垂直的性质,可得AC?平面BDE,再由面面垂直的判定定理,即可得证;(2)设AB?x,分别求得AC,DG和EB的长,运用三棱锥的体积公式,计算可得所求值.【题目详解】(1)四边形ABCD为菱形,?AC?BD,BE?平面ABCD,?AC?BE,:..又BD?BE?B,?AC?平面BDE,又AC?平面AEC,?平面AEC?平面BED;(2)设AB?x,在菱形ABCD中,由?BAD?60?,3x可得AG?GC?x,GB?GD?,AC?3x,22AE?EC,3?在Rt?AEC中,可得EG?x,22由BE?面ABCD,知BE?BG,?BEG为直角三角形,可得BE?EG2?BG2?x,211686三棱锥E?ACD的体积V??AC·GD·BE?x3?,E?ACD32243?x?4,?菱形的边长为1.【题目点拨】本题考查面面垂直的判定,注意运用线面垂直转化,考查三棱锥的体积的求法,考查化简运算能力和推理能力,.(1)??1(2)437【解题分析】?a?c?3?(1)依题意可得?b?3,解方程组即可求出椭圆的方程;?222a?b?c?(2)设T(2,?m)(m?0),则TF?m2?1,设直线PQ的方程为x?my?1,联立直线与椭圆方程,消去x,设2TF72P?x,y?Q?x,y?|PQ|2?mS,,列出韦达定理,即可表示,再根据求出参数,从而得出,最后1122|PQ|24?TPQ:..由点F到直线PQ的距离得到S?S,由S?S?S?2S即可得解;1?TPQ?F1PQ四边形TPFQ?TPQ?F1PQ?TPQ1【题目详解】?a?c?3?a?2??解:(1)∵?b?3,∴解得?b?3,?222?a??1??x2y2∴椭圆E的方程为???m(2)∵A(2,0),∴可设T(2,?m)(m?0),∴TF?m2?1.∵k???m,2TF22?11∴k?,∴设直线PQ的方程为x?my?1,PQm?x?my?1???∴?22,∴3m2?4y2?6my?9?0,显然??????1?43?6m?9P?x,y?Q?x,y?y?y?yy?设,,则,,1122123m2?4123m2?4∴??2??2??2??2|PQ|?x?x?y?y??my?y??y?y1212?12?12?2???6m236?12m?1???????m2?1??y?y?2?4yy??m2?1??????.?1212?3m2?43m2?43m2?4??????????TF3m2?43m2?4722?m2?1???∴??,|PQ|12m2?112m2?124∴18m4?m2?17?0,∴解得m2?1,解得m??1,24124122∴TF?2,|PQ|?,∴S??2??.27?TPQ277∵此时直线PQ的方程为x?y?1?0,F(?1,0),1|?1?1|∴点F到直线PQ的距离为d??2,12242∴S?S?S?2S?,四边形TPFQ?TPQ?F1PQ?【题目点拨】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的综合应用,考查计算能力,属于中档题.:..3x?y?2?0?x?2?2??y?2?2?819.(1)l:,C:;(2)25【解题分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;(2)由(1)可得曲线C是圆,求出圆心坐标及半径,再求得圆心到直线的距离,即可求得AB的长.【题目详解】???(1)由题意可得直线l:3x?y?2?0,由??42sin????,得?2?4?cos??4?sin?,即?4?x2?y2?4x?4y,所以曲线C:?x?2?2??y?2?2??2,2?(2)由(1)知,圆,半径r??2?2∴圆心到直线l的距离为:d??∴AB?2r2?d2?28?3?25【题目点拨】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法,考查弦长的求法、运算求解能力,是中档题.?e?1?20.(1)答案见解析(2)?,????2?【解题分析】?f?t??0?f?x??t,0?h?x?(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组?,看方程是否有解即可;(2)求出f??t??0????1G?x??ex??2ax?0h?x?x?1的导数,设(),【题目详解】f?x?(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:f??x???x?1?ex?2a?x?1?f?x??t,0?.假设函数的图象与x轴相切于?f?t??0??t?2?et?a?t?1?2?0??则?即?f??t??0?t?1?et?2a?t?1??0????????t?t?2?et?a?t?1?2?0显然t?1,e?2a?0,代入中得,t2?4t?5??x?故函数的图象不能与x轴相切.:..h?x???x?2?ex?a?x?1?2?lnx?xx?0(2)()?1?h??x???x?1?ex??2a?h??1??0??,,?x?1设G?x??ex??2a(x?0),x1G??x??ex??G?x??0,??????G?x????x?0G?x????又,,,?G?x??0∴存在唯一x,使,且000?x?xG?x??0x?xG?x??0时,时,00h??x??0h?x??0,???①当x?1时,恒成立,在单调递增,0h?x?无极值,?1x??x,1?h??x??0x??1,???h??x??0②当时,可得当时,,当时,.00h?x??x,1??1,???所以在内单调递减,在内单调递增,0h?x?x?1所以在处取得极小值,?1x??0,1?h??x??0x??1,x?h??x??0③当时,可得当时,,当时,.00h?x??0,1??1,x?所以在内单调递增,在内单调递减,0h?x?x?1所以在处取得极大值,?1得G?1??G?x??0即e?1?2a?0,00e?1?a?2?e?1?综上可知,实数a的取值范围为?,???.?2?【题目点拨】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,.(1)(?,0);(2)??.e2【解题分析】:..f?x?(1)对求导,对参数进行分类讨论,?lnxx?xf'?x??0a??21?x??1???x?21(2)先根据,得x??,再根据零点解得,转化不等式得,00x?x12lnx?lnxa2121xt?1t1t1t?2???1???t?t?1,??(??)0?t1,?(??)令,化简得,因此,,最后根据导xlnt1?tlntmin1?tlntmax1数研究对应函数单调性,确定对应函数最值,即得?取值集合.【题目详解】1(1)f'?x??a?(x?0),xa?0f'?x??0x?0当时,对恒成立,与题意不符,1ax?1f'?x??a??当a?0,,xx10?x??f'?x??0∴时,a?1??1?f?x?0,??,??即函数在??单调递增,在??单调递减,?a??a?x?0x???f?x????∵和时均有,?1??1?1∴f?????1?ln????0,解得:??a?0,?a??a?e?1?综上可知:a的取值范围??,0?;?e?11f??x??0x??(??a?0)(2)由(1)可知,则,00aef'?x??f'?x??0??0??1由x,x的任意性及知,,且,1212?ax?lnx?0lnx?lnx?11∴a??21,ax?lnx?0x?x?2122x?xx??x??1???x?21故,012lnx?lnx21x2?1xxx???1???2?1t?2又∵,令,xxx1ln21x1:..t?1t?0,t?1???1???t??0则,且恒成立,lntt?1g?t??lnt?(t?0)??令,而g1?0,???1???tt?1g?t??0,0?t?1g?t??0.?*?∴时,时,??2??1???2?t???t?1??1???2∴11????????,g'?t????t????2????2??1?t?t??1?t??????2??令,?1???2??1??t?1g'?t??0??,1?若,则时,,即函数在单调递减,g?t??g?1??0?*?∴,与不符;??11?t??g'?t??0g?t??1,??若,则时,,即函数在单调递减,g?t??g?1??0?*?∴,与式不符;1????1??g'?t??0g'?t??0?t?1若,解得,此时恒成立,,2g?t??0,???g?1??0即函数在单调递增,又,t?1g?t??00?t?1g?t??0?*?∴时,;时,符合式,1综上,存在唯一实数??【题目点拨】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.??2,0?22.(1)①极小值为1,无极大值.②实数k的值为1.(2)【解题分析】k?1f?x?f?x??x2?2lnxxf?x?(1)①将代入可得,求导讨论函数单调性,即得极值;②设是函数的一个“F0?2?2kx?11x?0f??x???k?0f??x??0x?点”(),即是的零点,那么由导数f?x?可知,且,可得,根000kxf?x??xx?2lnx?1?0??x??x?2lnx?1??x?xk据可得,设,由的单调性可得,即得.(2)方法一:先00000:..g?x?g?x?xxg??x??0xx求的导数,存在两个不相等的“F点”,,可以由和韦达定理表示出,的关系,再由1212g?x??g?x??x?xa,b,cg?x??g?x??x?x?1g?x?,可得的关系式,:由函数12121212?3ax2?2bx?c?0存在不相等的两个“F点”x和x,可知x,x是关