安徽省合肥一中等六校教育研究会2024学年下学期高三年级期末考试(联考.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..安徽省合肥一中等六校教育研究会2024学年下学期高三年级期末考试(联考卷)数学试题注意事项:,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。。,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。,正方体ABCD?ABCD的棱长为1,动点E在线段AC上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列111111结论中错误的是()//AC,,使得平面BEF//??CEF的体积为定值1?y?0?,y满足的约束条件?x?y?3?0,则z?2x?y的取值范围是()??2x?y?0?4,????0,6????6,???,.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,,阴阳太极图的半径为4m,则每块八卦田的面积约为():..,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为().???2??R,函数y?ln1?x的定义域为M,集合N?x|x?x?0?,则下列结论正确的是MN?NM?N?????N??,算法框图中输入的a,a,a,,a为茎叶图中的12350学生成绩,则输出的m,n分别是():..?38,n??26,n??12,n??24,n?,b,c?R且a?b,则下列不等式成立的是()?a?c??bc2C.?D.??y2?4外一点M(4,?1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().?y?4??y?4??y?4??y?4?,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,,则下列说法错误的是(),,,低收入家庭有800户:..:??1(a?0,b?0,c?a2?b2)上一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之a2b21积为c2,则双曲线C的离心率为()????1?????,集合A??xy?(x?1)2?,B?{x|x?2x?0},则(A)B?()R????????A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1],三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,(阴影),设直角三角形有一个内角为30,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取3≈),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,a?2,sinA?,b?6,?xdx?n,则(x?y?1)展开式中xy的系数为__0x2y2x2y2?a?b?0??m?0,n?0?:??1与双曲线C:??1有相同的焦点、,,e、e分别为曲线C、C的离心率,若?PFF是以PF为底边的等腰三角1212121形,则e?.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题:“今有共买物,人出八,盈三钱;人出七,不足四,问人数物价各几何?”借用我们现在的说法可以表述为:有几个人合买一件物品,每人出8元,则付完钱后还多3元;若每人出7元,?答:一共有_____人;、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中点,AC,BD交于点O.:..(1)求证:OE∥平面PBC;(2)求三棱锥E﹣?1,0?PQy18.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)若C上存在两动点A,B(A,B在x轴异侧)满足OA?OB?32,且△PAB的周长为2AB?2,.(12分)已知数列{a}满足n?n?2(n?2),且a?a,a?,a,a,?1n?11(1)求证:数列{}是等差数列,并求数列{a}的通项公式;ann11(2)记数列{}的前n项和为S,b?aaS?,求数列{b}+1n4nnnx2y23920.(12分)已知椭圆C:??1(a?b?0)的左右焦点分别是F,F,点P(1,)在椭圆C上,满足PF?PF?a2b2122124(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l过点P,且与椭圆只有一个公共点,直线l与l的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点P的两点M,N,与112直线x?1交于点K(K介于M,N两点之间),是否存在直线l,使得直线l,l,PM,PN的斜率按某种排序能构212成等比数列?若能,求出l的方程,若不能,??x?tcos????321.(12分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是?(t为参数),曲线C的参数方程是??y?1?tsin????3:..????x?23cos??(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.????y?23?23sin?(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;????(2)已知射线OM:???0<?<与曲线C交于O,M两点,射线ON:????与直线l交于N点,若??1?2?22?OMN的面积为1,求?的值和弦长OM.?22.(10分)已知倾斜角为的直线经过抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点F,与抛物线C相交于A、B两点,且4|AB|?8.(1)求抛物线C的方程;(2)设P为抛物线C上任意一点(异于顶点),过P做倾斜角互补的两条直线l、l,交抛物线C于另两点C、D,12记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为?,直线CD的倾斜角为?,求证:?与?、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据平行的传递性判断A;根据面面平行的定义判断B;根据线面垂直的判定定理判断C;由三棱锥B?CEF以三角形BCF为底,则高和底面积都为定值,判断D.【详解】在A中,因为F,M分别是AD,CD中点,所以FM//AC//AC,故A正确;11在B中,DD有交点,所以不存在点E,使得平面BEF//DD,故B错误;1111在C中,由平面几何得BM?CF,,结合线面垂直的判定定理得出BM?平1面CCF,故C正确;1在D中,三棱锥B?CEF以三角形BCF为底,则高和底面积都为定值,即三棱锥B?CEF的体积为定值,故D正:..确;故选:B【点睛】本题主要考查了判断面面平行,线面垂直等,、B【解析】根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】?y?0?实数x,y满足的约束条件?x?y?3?0,画出可行域如下图所示:??2x?y?0将线性目标函数z?2x?y化为y??2x?z,y??2xO?0,0?则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,z?0;minB?3,0?z?2?3?0?6当经过时,截距最大值,,maxz?2x?y?0,6?所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,、B【解析】1由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,【详解】:..360由图,正八边形分割成8个等腰三角形,顶角为?45,8设三角形的腰为a,a10?135由正弦定理可得135sin45,解得a?102sin,sin22所以三角形的面积为:21?135?1?cos135??S???102sin?sin45?502??252?1,2?2?2??1所以每块八卦田的面积约为:252?1????42?:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,、A【解析】设球心为,三棱柱的上底面的内切圆的圆心为,该圆与边切于点,根据球的几何性质可得为直角三角形,然后根据题中数据求出圆半径,进而求得球的半径,最后可求出球的体积.【详解】如图,设三棱柱为,且,,设该三角形的内切圆为圆,圆与边切于点,,则由球的几何知识得为直角三角形,且,所以,即球的半径为,:...【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为,斜边为,则该直角三角形内切圆的半径,、A【解析】求函数定义域得集合M,N后,再判断.【详解】由题意M?{x|x?1},N?{x|0?x?1},∴MN?.【点睛】本题考查集合的运算,,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,、B【解析】试题分析:由程序框图可知,框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数,由茎叶图可知,成绩不小于80的有12个,成绩不小于60且小于80的有26个,故m?26,n?:程序框图、、A【解析】A项,由a?b得到?a??b,则c?a?c?b,故A项正确;B项,当c0时,该不等式不成立,故B项错误;111C项,当a?1,b??2时,1??,即不等式?不成立,故C项错误;2abbbD项,当a??1,b??2时,?2?1,即不等式?1不成立,,故选A.:..8、A【解析】过圆x2?y2?r2外一点(m,n),引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为mx?ny?r2?0,、D【解析】根据给出的统计图表,对选项进行逐一判断,即可得到正确答案.【详解】解:由题意知,该市老年低收入家庭共有900户,所占比例为6%,则该市总有低收入家庭900÷6%=15000(户),A正确,该市从业人员中,低收入家庭共有15000×12%=1800(户),B正确,该市无业人员中,低收入家庭有15000×29%%=4350(户),C正确,该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有15000×4%=600(户),:D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析,这类题要认真分析图表的内容,读懂图表反映出的信息是解题的关键,、A【解析】设点P的坐标为(m,n),代入椭圆方程可得b2m2?a2n2?a2b2,然后分别求出点P到两条渐近线的距离,由距离之1积为c2,并结合b2m2?a2n2?a2b2,可得到a,b,c的齐次方程,【详解】m2n2设点P的坐标为(m,n),有??1,得b2m2?a2n2??ay?0和bx?ay?0,则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为bm?anbm?anb2m2?a2n222ab???,a2?b2a2?b2a2?b2c2a2b21c222224?22?22所以?c,则4a(c?a)?c,即c?2a?0,故c2?2a2?0,即e??2,所以e?:..故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造a,b,c的齐次方程是解决本题的关键,、D【解析】1对于集合A,求得函数y??x?1??的定义域,再求得补集;对于集合B,解得一元二次不等式,2再由交集的定义求解即可.【详解】????1?????1????A??xy?(x?1)2???xy???x|x?1,?A?{x|x?1},x?1R??????????B?{x|x2?2x?0}?{x|x(x?2)?0}?{x|0?x?2},?(A)B?(0,1].R故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,、B【解析】31设大正方体的边长为x,从而求得小正方体的边长为x?x,设落在小正方形内的米粒数大约为N,利用概率模22拟列方程即可求解。【详解】31设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为x?x,22设落在小正方形内的米粒数大约为N,2?31??x?x?则22,解得:N?27??N?x2200故选:B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用,考查计算能力,属于基础题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。:..13、2【解析】根据题意,利用余弦定理求得c?2,再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】3解:由于a?2,sinA?,b?6,36∵a?b,∴A?B,cosA?,36b2?c2?a2由余弦定理得?,解得c?2,32bc13∴ABC的面积S??2?6??:2.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,、1.【解析】由题意求定积分得到n的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中x2y的系数.【详解】420x∵已知?x3dx??4?n,则(x?y?1)n?(x?y?1)4,240它表示4个因式(x?y?1),一个因式取,剩下的一个因式取1,?C1?C1?:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.?2?15、?,????3?:..【解析】设PF?s,PF?t,由椭圆和双曲线的定义得到s?a?m,t?a?m,根据?PFF是以PF为底边的等腰12121111三角形,得到t?a?m?2c,从而有??2,根据e?1,得到?e?1,再利用导数法求ee231122e2y?e?e?2e?e??2e1【详解】设PF?s,PF?t,12由椭圆的定义得s?t?2a,由双曲线的定义得s?t?2m,所以s?a?m,t?a?m,因为?PFF是以PF为底边的等腰三角形,121所以FF?PF?2c,122即t?a?m?2c,cc因为e?,e?,1a2m11所以??2,ee121因为e?1,所以0??1,2e211所以?2??3,ee121即?e?1,312e2而y?e?e?2e?e?1,21211?2e14e(1?e)y??11?0因为2,?1?2e?1?1?y,1所以在??上递增,?3?:..2所以y?.3?2?故答案为:?,????3?【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和几何性质,还考查了运算求解的能力,、753【解析】根据物品价格不变,可设共有x人,列出方程求解即可【详解】设共有x人,由题意知8x?3?7x?4,解得x?7,,商品价格为53元.【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8317、(1)证明见解析(2)3【解析】(1)连接OE,利用三角形中位线定理得到OE∥PC,即可证出OE∥平面PBC;11(2)由E是PA的中点,V?V?V,求出S,﹣PBDA﹣PBDP?ABD△ABD22【详解】(1)证明:如图所示:∵点O,E分别是AC,PA的中点,∴OE是△PAC的中位线,∴OE∥PC,又∵OE?平面PBC,PC?平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,:..1∴S??4?4?sin60??43,△ABD2∴三棱锥E﹣PBD的体积11183V?V?V?PA?S?.E﹣PBD2A﹣PBD2P?ABD2△ABD3【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积,注意等体积法的应用,考查逻辑推理、数学计算能力,、(1)y2?4x;(2)AB?48【解析】x?1Q?x,y??x?1?2?y2?2?C(1)设,则由题设条件可得,(2)设直线AB:x?my?n,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简OA?OB?32并求得n?8,结合焦半径公式及弦长公式可求m的值及AB的长.【详解】?x?1y?Q?x,y?,(1)设,则圆心的坐标为??,?22?PQy因为以线段为直径的圆与轴相切,x?1?x?1?2?y2?2?所以,2化简得C的方程为y2?4x.(2)由题意k?0,设直线AB:x?my?n,AB联立y2?4x得y2?4my?4n?0,A?x,y?,B?x,y?yy?0设(其中)112212:..所以y?y?4m,y?y??4n,且n?0,1212y2y2因为OA?OB?32,所以OA?OB?xx?yy?12?yy?32,121216122?n?8??n?4??0n??4n?4n?32,所以,故n?8或(舍),直线AB:x?my?8,因为?PAB的周长为2AB?2所以PA?PB?AB?2AB??PB?AB?2,PA?PB?x?x?2?m?y?y??18?4m2???2?2??2?又AB?1?m2y?y?1?m2?4m?128?41?m8?m,122?2??2?所以4m?18?41?m8?m?2,解得m??22,?2??2?????所以AB?41?m8?m?41?88?8?48.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立xy方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有xx,x?x或yy,y?y,、(1)见解析;(2)T?n8n?4【解析】aa112(1)因为n?n?2(n?2),所以a?0,所以??,aanaaan?1n?1n?1n?1n1所以数列{}是等差数列,an1设数列{}的公差为d,由a?a可得d?0,a12n111111因为a,a,a成等比数列,所以aa?a2,所以??,所以(?2d)(?2d)?(?d)2,125152aaa2aaa152333:..1因为a?,所以(5?2d)(5?2d)?(5?d)2,35111解得d?0(舍去)或d?2,所以??(n?3)d?2n?1,所以a?.aan2n?1n31n(1?2n?1)(2)由(1)知a?,S??n2,n2n?1n21n211111所以b?aaS?????(?),nnn+1n4(2n?1)(2n?1)44(2n?1)(2n?1)82n?12n?111111111n所以T??(1??????)??(1?)?.n83352n?12n?182n?18n?4x2y220、(1)??1;(2)不能,理由见解析43【解析】99F(?c,0),F?c,0?PF?PF?1?c2??(1)设,则,由此即可求出椭圆方程;121244311(2)设直线l的方程为y??k(x?1),联立直线与椭圆的方程可求得k??,则直线l斜率为,设其方程为122221y?x?t,M(x,y),N(x,y),联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得PM,PN关于x?1对称,可求得21122111k??,k?,假设存在直线l满足题意,设k??k,k?k,可得k?,【详解】99F(?c,0),F?c,0?PF?PF?1?c2??解:(1)设,则,121244?c?1,a?2,b2?3,x2y2所以椭圆方程为??1;433(2)设直线l的方程为y??k(x?1),12x2y2与??1联立得(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?(3?2k)2?12?0,431∴??0,k??,21因为两直线的倾斜角互补,所以直线l斜率为,221设直线的方程为y?x?t,M(x,y),N(x,y),21122联立整理得x2?tx?t2?3?0,??0,t2?4,x?x??t,xx?t2?3,1212:..33y?y?1222xx?(t?2)(x?x)?(2t?3),?k?k???1212?0PMPNx?1x?1(x?1)(x?1)1212所以PM,PN关于x?1对称,PMMKPNNK由正弦定理得?,?,sin?PKMsin?MPKsin?PKNsin?NPK因为?MPK??NPK,?PKM??PKN?180?,所以PM?KN?PN?KM,11由上得k??,k?,l12l22假设存在直线l满足题意,211k??k,k?k?,,?k,kqq??1设,按某种排列成等比数列,设公比为,则,PMPN221所以k?,则此时直线PN与l平行或重合,与题意不符,【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力与推理能力,属于难题.???1?21、(1)?sin?????,??43sin?;(2),23.?3?26【解析】(1)先把直线l和曲线C的参数方程化成普通方程,再化成极坐标方程;1(2)联立极坐标方程,根据极径的几何意义可得OM,ON,再由面积S?OM?ON?1可解得极角,从而?OMN2可得OM.【详解】??x?tcos??3(1)直线l的参数方程是?(t为参数),??y?1?tsin????3消去参数t得直角坐标方程为:3x?y?1?0.???1转换为极坐标方程为:3?cos???sin??1?0,即?sin?????.?3?2:..????x?23cos?C?曲线的参数方程是?(为参数),????y?23?23sin?转换为直角坐标方程为:x2?(y?23)2?12,化为一般式得x2?y2?43y?0化为极坐标方程为:??43sin?.11?ON??(2)由于0<?<,得OM?43sin?,??????cos??3sin?.2sin?????3cos?????2??2?123sin?所以S?OM?ON??1,?OMN2cos??3sin?3所以tan??,3??由于0<?<,所以??,26所以OM?23.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化,熟记公式即可,、(1)x2?4y(2)证明见解析【解析】p(1)根据题意,设直线方程为y?x?,联立方程,根据抛物线的定义即可得到结论;2x2(2)根据题意,设l的方程为y?0?k?x?x?,联立方程得x?x?4k,同理可得x?x??4k,进而得到1400C0Dx?x??2x,再利用点差法得直线CD的斜率,利用切线与导数的关系得直线l的斜率,进而可得?与?【详解】p(1)由题意设直线AB的方程为y?x?,令A(x,y)、B(x,y),21122?p?y?x?p2联立?2,得y2?3py??0?4x2?2py??y?y?3p,12根据抛物线的定义得AB?y?y?p?4p,12:..又AB?8,?4p?8,p?2故所求抛物线方程为x2?(2)依题意,设P(x,0),C(x,C),D(x,D)04C4D4x2ly?0?k(x?x)x2?4yyx2?4kx?4kx?x2?0设的方程为,与联立消去得,10004?x?x?4k,同理x?x??4k0C0Dx2?x211?x?x??2x,直线CD的斜率k?21=(x?x)??xCD0CD4(x?x)4CD20211切线l的斜率k?y??x,lx?x200由k?k?0,即?与?【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,直线斜率的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.