安徽省安庆第一中学2023-2024学年数学高二上期末考试试题含解析.pdf

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行四边形;斜率为4-7或4+7【解析】(1)设A,B两点坐标,由点差法证明(2)求出P,M两点坐标,由平行四边形的几何性质判断【小问1详解】:..A?x,y?,B?x,y?,lk设的斜率为,11229x2?y2?m2,9x2?y2?m21122y?yy?y两式相减可得9(x2?x2)?y2?y2?0,即(12)(12)??91212x?xx?x1212故kk??9OM【小问2详解】9m由(1)得OM的直线为y??x,直线l方程为y?m?k(x?)k3?9y??x?km(k?3)?k联立?,解得x?mM3(k2?9)?y?m?k(x?)????3?9?y??xkm联立?k解得x??P2?3k?99x2?y2?m2?若四边形OAPB为平行四边形,则对角线互相平分kmkm(k?3)M为OP中点,??23k2?93(k2?9)解得k?4?7,经检验,均符合题意故四边形OAPB能为平行四边形,此时l斜率为4-7或4+7x218、(1)?y2?12?7?(2)?1,???2?【解析】(1)根据离心率及通径长求出椭圆方程;(2)分直线AB斜率存在和斜率不存在两种情况得到FA?FB的范11围,进而得到答案.【小问1详解】c2y2b2当AB?x轴时,取x?c代入椭圆方程得:??1,得y??,a2b2a2b2c2x2所以?2,又?,解得a?2,b?c?1,所以椭圆方程为?y2?1aa22:..【小问2详解】F??1,0?A?x,y?B?x,y?由,记,11122?2??2?当AB?x轴时,由(1)知:A?1,?,B?1,???2??2??????2??2?7所以FA?FB??2,???2,???,11222????y?k?x?1?当AB斜率为k时,直线AB为,?x2??y2?1?2?222?2,消去y得1?2kx?4kx?2k?2?0,?y?k?x?1??4k22k2?2所以x?x?,xx?,121?2k2121?2k2FA?FB??x?1,y???x?1,y??xx?x?x?yy?111**********?????2??2???2?xx?x?x?kx?1x?1?1?k?1xx?1?kx?x?k?**********?2??2?2?2?21?kk?14k1?k7k2?179???k2?1???222?2?1?2k1?2k2k?1222k?177?7?所以?1?FA?FB?,综上?1?FA?FB?,FA?FB的范围是?1,.1111??2211?2?y219、(1)?x2?1(2)2x?y?1?【解析】(1)根据条件,结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.(2)当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设出直线方程,联立双曲线,变形后由中点坐标公式可求得斜率,?3,a?2b?1【详解】()根据题意,焦点在轴上,且,所以,y2双曲线的标准方程为C:?x2??1,1?MN(2)过点的直线l与曲线C交于M,N两点,且Q恰好为线段的中点,当直线斜率不存在时,直线方程为x?1,则由双曲线对称性可知线段MN的中点在x轴上,所以不满足题意;y?k?x?1??1M?x,y?,N?x,y?当斜率存在时,设直线方程为,设,1122:..?y?k?x?1??1?????2222则?y2,化简可得k?2x?2k?2kx?k?2k?1?0,?x2?1??2??2??因为有两个交点,所以??2k2?2k?4k2?2?k2?2k?1??0??化简可得2恒成立,2k?2k?1?02k2?2k所以x?x?,122k?22k2?2kQ?1,1?MN因为恰好为线段的中点,则?2,k2?2化简可得k?2,y?2??x?1??12x?y?1?0所以直线方程为,即.【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程,直线与双曲线的位置关系,由中点坐标求直线方程,、(1)抛物线C的方程为y2?4x,准线方程为x??1(2)x?y?1?0或x?y?1?0.【解析】(1)将点代入抛物线求出p即可得出抛物线方程和准线方程;(2)设出直线方程,与抛物线联立,表示出弦长MN和QF即可求出.【小问1详解】?1,2?y2?2px4?2pp?2将代入可得,解得,所以抛物线C的方程为y2?4x,准线方程为x??1;【小问2详解】F?1,0?x?ty?1由题得,设直线方程为,t?0,M?x,y?,N?x,y?设,1122?x?ty?1联立方程?,可得y2?4ty?4?0,则y?y?4t,y2?4x12?MN?x?x?p?t?y?y??4?4t2?4所以,1212:..?2?因为直线x?ty?1与准线x??1交于点Q,则Q??1,??,?t?224??QF???1?1?2???0?4?则??,?t?t24因为MN?22QF,所以4t2?4?22?4?,解得t??1,t2所以直线l的方程为x?y?1?0或x?y?1?、(1)a=(2)232(3)5【解析】(1)由频率和为1列方程求解即可,(2),,所以三科总分成绩的第60百分位数在第4组内,设第60百分位数为x,+×(x?220)=,从而可求得结果,(3)利用列举法求解即可【小问1详解】由(+++++a+)×20=1,解得a=【小问2详解】因为(++)×20=<,(+++)×20=>,所以三科总分成绩的第60百分位数在[220,240)内,设第60百分位数为x,+×(x?220)=,解得x=232,即第60百分位数为232【小问3详解】将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作a,b,c,d,???a,b,c?,?a,b,d?,?a,b,e?,?a,c,d?,?a,c,e?,?a,d,e?,?b,c,d?,?b,c,e?,?b,d,e?,?c,d,e??A?{?a,b,e?,?a,c,e?,?a,d,e?,?b,c,e?,?b,d,e?,?c,d,e?}事件A表示小明选中“技术”,则,3所以P(A)=5?x?2?2?y2?922、(1)(2)x??1或4x?3y?7?0:..735(3)4C?x?a?2??y?b?2?r2?r?0?【解析】(1)解法一,根据题意设圆的标准方程为,进而待定系数法求解即可;解法二:由题知圆心在线段AB的垂直平分线x?2上,进而结合题意得圆的圆心与半径,写出方程;(2)分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可;7(3)由几何法求弦长得MN?35,进而P到直线l?距离的最大值为r?d?,【小问1详解】C?x?a?2??y?b?2?r2?r?0?解:解法一:设圆的标准方程为,???1?a?2?b2?r2???5?a?2?b2?r2由已知得?,?a?2b?2?0????解得a?2,b?0,r?3,所以圆C的标准方程为?x?2?2?y2?9;CA??1,0?B?5,0?解法二:由圆经过点和,可知圆心在线段AB的垂直平分线x?2上,x?2y?2?0y?0C?2,0?将x?2代入,得,即,半径r?AC???1?2?2??0?0?2?3,所以圆C的标准方程为?x?2?2?y2?9;【小问2详解】ll:y?1?k?x?1?kx?y?k?1?0解:当直线的斜率存在时,设,即,2k?0?k?14由直线l与圆C相切,得?3,解得k?,k2?13此时l:4x?3y?7?0,当直线l的斜率不存在时,直线l:x??1显然与圆C相切所以直线l的方程为x??1或4x?3y?7?0;【小问3详解】:..2?0?11解:圆心到直线l?的距离d??,1?3212??所以MN?232??35,???2?7则点P到直线l?距离的最大值为r?d?,217735所以PMN的面积的最大值S??35??max224