吉林省公主岭市2024年新高三下开学适应性考试数学试题试卷.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..吉林省公主岭市2024年新高三下开学适应性考试数学试题试卷注意事项:,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。x2y2?:??1(mn?0)绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则E的离心率等于()?a?a?4a?7a???3n?2?a?4naa?aa??aa?,则()???2??3.“b?2”是“函数fx?2b?3b?1x(?为常数)为幂函数”的()、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,???????(x)?2cos?x?(??0)在?,上单调递增,则?的取值范围()?????3??32??2??2??2?A.,2B.?0,C.,1D.(0,2]??????3??3??3??(2,?4),b?(k,3),且a与b的夹角为135?,则k?()A.?.?9或1D.?1或9???f?x??sin3x?cos3xf?x???2,2?fx?,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数??为??4??????f?x?,x?Rf?x??f?x??f?x?x?x奇函数;③函数在区间??单调递减;④若对任意,都有成立,则的?32?1212:..?最小值为;其中正确结论的个数是()??0,1?ex?|2x?a|?,,则的取值范围为()??1,1??2?e,e?2??2?e,1??2ln2?2,1?,B两点,|AB|?4,P为C的准线上的一点,则?ABP的面积为():??1(a?0,b?0)的一个焦点为F,点A,B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以ABa2b2为直径的圆过F且交C的左支于M,N两点,若|MN|=2,?ABF的面积为8,则C的渐近线方程为()????????x2?(x)=sin3x-3cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:65?①它的图象关于直线x=对称;92?②它的最小正周期为;311?③它的图象关于点(,1)对称;185?19?④它在[,]()A.①②B.②③C.①②④D.②③④,F分别为双曲线C:??1?a?0,b?0?的左、右焦点,过F的直线l与双曲线C的左、右两支分别12a2b21BF4交于A,B两点,若AB?BF?0,2?,则双曲线C的离心率为()、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。16???2x的展开式的各项系数之和为_____,含x2项的系数为_____.???x?:..a?aS?a?nS,S,,成等差数列,?x??1,1?????3f?x?g?x?,gx?x?1?1,若函数图象与函数图象的2019??(x,y),(x,y),?,(x,y)?x?y?交点为,**********iji?1?a?nSa?a?a?99a?a?a?,其前项和为,已知,,若对任意n?N*都有nn147258S?S成立,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在A市与B市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为2m,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有X个路口种植杨树,求X的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为M,求证:3Mm(m?1)(m?2).n(ad?bc)2K2?附:(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)?2?.(12分)在如图所示的四棱锥F?ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD,?ABC?60?,FC?平面ABCD,AC?BF,CB?CD?1.:..(1)求证:AC?平面BCF;5(2)已知二面角F?BD?C的余弦值为,?x??1?2cos?xOyC?x19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为?(为参数).以坐标原点为极点,轴正?y?2sin???2,0?lCMN半轴为极轴,,过P的直线与曲线相交于,两点.(1)若l的斜率为2,求l的极坐标方程和曲线C的普通方程;(2)求PM?.(12分)已知函数f(x)?ax2?(a?1)x?lnx,a?(1)当a?0时,求曲线f(x)在点(2,f(2))的切线方程;(2)讨论函数f(x).(12分)已知抛物线C:x2?4y与直线l:x?2y?2?0.(1)求抛物线C上的点到直线l距离的最小值;P?x,y?Q(1,1)(2)设点是直线l上的动点,是定点,过点P作抛物线C的两条切线,切点为A,B,求证A,Q,00B共线;并在AQ?.(10分)如图,四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形AB//DC,?ABC?90?,AB?BC?1,CD?2,PC?底面ABCD,且PC?2,E为CD的中点.:..(1)证明:BE?AP;(2)设点M是线段BP上的动点,当直线AM与直线DP所成的角最小时,求三棱锥P?、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】b3由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为60,所以?3或,由离心率公式a3b2??e?1???即可算出结果.?a?【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为60,又双曲线的焦点既可在x轴,又可在yb3b223??轴上,所以?3或,?e?1??2或.??a3?a?3故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的概念,、C【解析】?3n?2?an??3n?2?a?a利用的前项和求出数列的通项公式,可计算出,然后利用裂项法可求出nnn:..aa?aa??【详解】a?4a?7a???3n?2?a??1时,a?4;1n?2a?4a?7a???3n?2?a?4n当时,由,123na?4a?7a???3n?5??a?4?n?1?可得,123n?14?3n?2?a?4a?两式相减,可得,故,nn3n?24因为a?4也适合上式,所以a?.1n3n?21616?11?依题意,aa?????,n?1n?2?3n?1??3n?4?3?3n?13n?4?16?11111111?16?11?5故aa?aa??aa????????????????.233421223?4771010136164?3?464?4故选:C.【点睛】本题考查利用S求a,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,、A【解析】根据幂函数定义,求得b的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】???2?a∵当函数fx?2b?3b?1x为幂函数时,2b2?3b?1?1,1解得b?2或?,2???2?a∴“b?2”是“函数fx?2b?3b?1x为幂函数”:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,、B【解析】:..根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可.【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,若甲村有1外科,2名护士,则有,其余的分到乙村,若甲村有2外科,1名护士,则有,其余的分到乙村,则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种,故选:B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,、B【解析】πππππππ??x?,?????x????,y?cosx[?π,0],由可得结合在上单调递增易得3233323?ππππ????,???[?π,0],即可求出?的范围.???3323?【详解】πππππππ由??x?,可得?????x????,3233323?π??ππ?x?0时,f(0)?2cos???,而0??,,???3??32?πy?cosx[?π,0],??[?π,0],又在上单调递增且3?ππ?????π????233???ππππ??ππ?22所以???,???[?π,0],则????0,即???,故0???.???3323?2333?????0???0???故选:B.:..【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,、C【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求k的值.【详解】a?b2k?122解:由题意可得cos135?????,|a|?|b|4?16?k2?92求得k??9,或k?1,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,、C【解析】????????f?x?2sin(3x?)fx?x?,化的解析式为可判断①,求出??的解析式可判断②,由??得4?4??32??3?5?3x??[,],结合正弦函数得图象即可判断③,由444Tf?x??f?x??f?x?x?x?得可判断④.1212min2【详解】????f?x??2sin(3x?)f?x????2,2?fx??由题意,,所以,故①正确;????44?????????2sin[3(x?)?]?2sin(3x?)?2cos3x为偶函数,故②错误;当x?,??442?32??3?5?3x??[,]f?x?x?R时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有444f?x??f?x??f?x?xxx?x成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为121212T??,故④:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的:..、D【解析】?x??0,1?f?x??2x?ex,g?x??2x?ex由题得2x?ex?a?2x?ex对恒成立,令,然后分别求出f?x?,g?x?【详解】xx?x??0,1?由题得2x?e?a?2x?e对恒成立,f?x??2x?ex,g?x??2x?ex令,f??x??2?ex?0,1?f??ln2??0在单调递减,且,?f?x??0,ln2??ln2,1?在上单调递增,在上单调递减,?a?f?x??f?ln2??2ln2?2,maxg?x??2x?ex?0,1??a?g?x??g?0??1又在单调递增,,min?a?2ln2?2,1?:D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题,导数的综合应用,,、C【解析】?p?p设抛物线的解析式y2?2px(p?0),得焦点为F?,0?,对称轴为x轴,准线为x??,这样可设A点坐标为?2?2?p?,2,代入抛物线方程可求得p,而P到直线AB的距离为p,从而可求得三角形面积.???2?【详解】设抛物线的解析式y2?2px(p?0),?p?p则焦点为F,0,对称轴为x轴,准线为x??,???2?2:..∵直线l经过抛物线的焦点,A,B是l与C的交点,?p?又AB?x轴,∴可设A点坐标为?,2?,?2?代入y2?2px,解得p?2,pp又∵点P在准线上,设过点P的AB的垂线与AB交于点D,|DP|????p?2,2211∴S?|DP|?|AB|??2?4?4.?ABP22故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出A点坐标,、B【解析】2b2由双曲线的对称性可得S?S即bc?8,又MN??2,从而可得C的渐近线方程.?ABF?AFF'c【详解】设双曲线的另一个焦点为F',由双曲线的对称性,四边形AFBF'是矩形,所以S?S,即bc?8,由?ABF?AFF'?x2?y2?c2?b22b2?x2y2,得:y??,所以MN??2,所以b2?c,所以b?2,c?4,所以a?23,C的渐近???1cc?a2b23线方程为y??【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与计算能力,、B【解析】y?Asin?ωx?φ?g(x)根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】:..???因为f(x)=sin3x-3cos3x+1=2sin(3x-)+1,由y?Asinωx?φ图象的平移变换公式知,3???2?函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为T?,故②正确;6363??k??5?令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;62399?k??11?11?令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;63181818???2k?2?2k??10?13?16?19?令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,26239399999故④错误;故选:B【点睛】y?Asin?ωx?φ?本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型12、A【解析】由已知得AB?BF,BF?4x,由已知比值得AF?5x,AB?3x,再利用双曲线的定义可用a表示出AF,2221AF,用勾股定理得出a,c的等式,【详解】BF4AB?BF?0,AB?0,BF?0,??ABF?90?2??BF?4xAF?5x,AB?,可令,?tAF?AF?BF?BF?2a5x?t??3x?t??4x?2at?3a,x?a,得,即,解得,12112∴BF?4a,BF?AB?AF?6a,211222c由BF?BF?FF得(6a)2?(4a)2?(2c)2,c2?13a2,c?13a,?该双曲线的离心率e??:A.:..【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点A,B到焦点的距离都用a表示出来,从而再由勾股定理建立a,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1240【解析】将x?1代入二项式可得展开式各项系数之和,写出二项展开式通项,令x的指数为2,求出参数的值,代入通项即可得出x2项的系数.【详解】?1?6x?1?2x?1?2?6?1将代入二项式??可得展开式各项系数和为.?x?1616?r????rr二项式?2x的展开式通项为T?Cr????2x??Cr???2??x2r?6,?????x?r?16?x?6令2r?6?2,解得r?4,因此,展开式中含x2项的系数为16C4?16?15?:1;240.【点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式,、2【解析】?a?q,S,S,Sq,设等比数列的公比设为再根据成等差数列利用基本量法求解再根据等比数列各项间的关系求解n396a?【详解】?a?q,解:等比数列的公比设为n:..S,S,S成等差数列,396可得2S=S?S,936若q=1,则18a=3a?6a,111显然不成立,故q?1,?9??3??6?a1?qa1?qa1?q则2?1?1?1,1?q1?q1?q化为2q6=1?q3,1解得q3=﹣,211?a?aa?aq41?q32则25?11???2aaq7q61814故答案为:2.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,、4038.【解析】f?x?g?x??1,1?由函数图象的对称性得:函数图象与函数图象的交点关于点对称,则x?x?x?x?x?x?????2x?2,y?y?y?y?y?y?????2y?2,即120192201832017101012019220183201710102019???x?y?4038,?1【详解】????3g?x??g?2?x??2由gx?x?1?1知:y?g?x??1,1?得函数的图象关于点对称f?x??1,1?又函数的图象关于点对称f?x?g?x??1,1?则函数图象与函数图象的交点关于点对称则x?x?x?x?x?x?????2x?212019220**********y?y?y?y?y?y?????2y?212019220**********:..故x?x?????x?x?2019,y?y?????y?y?2019122018201912201820192019???即x?y?4038iji?1本题正确结果:4038【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题,关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心,、20【解析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组,解出这两个量,计算出S,利用二次函数的基本性质求出S的最大值及nn其对应的n值,即可得解.【详解】?a?a?a?3a?9d?99?a?39?a?14711设等差数列的公差为d,由?,解得?,na?a?a?3a?12d?93d??2??2581n?n?1?d?S?na??39n?n?n?1???n2?40n???n?20?2?,当n?20时,S取得最大值,n*S?SS?S?k?20对任意n?N都有成立,则为数列的最大值,因此,.nkkn故答案为:20.【点睛】本题考查等差数列前n项和最值的计算,一般利用二次函数的基本性质求解,考查计算能力,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)没有(2)分布列见解析,E(X)?2(3)证明见解析【解析】(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,(m?1)(m?2)(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以2m8,(m?1)(m?2),即证M,3根据组合数公式,即证M2C3;易知有Ck?(p?N,p2m)个路口种植杨树,下面mm?1m分类讨论①当p?{0,1,2}时,由M?C3C3论证.②当p?{2m?2,2m?1,2m}时,由M?C3C3论证.③2m?p2m?2p2m?2:..3p2m?3M?C3?C3f(p)?C3?C3,3p2m?3p?mf(p)?C3?C3当时,,设,再论证当时,p2m?pp2m?pp2m?p取得最小值即可.【详解】1000?(300?250?200?250)2(1)本次实验中,K2???,500?500?550?%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,4,1411441????故P(X?0)???P(X?4),P(X?1)?C3???P(X?3),?????2?164?2?1641463??P(X?2)?C2????4?2?168X0123411311P16484161故E(X)?4??(3)∵2m8,∴(m?1)(m?2),即证M2C3;m首先证明:对任意m,k?N*,mk,有Ck??1m证明:因为Ck?Ck?Ck?1?0,所以Ck??1mmm?1m设2m个路口中有p(p?N,p2m)个路口种植杨树,①当p?{0,1,2}时,(2m?2)(2m?3)(2m?4)(m?1)(m?2)(2m?3)M?C3C3??4?,2m?p2m?266因为m4,所以2m?3?m,m(m?1)(m?2)于是M?4??4C3?②当p?{2m?2,2m?1,2m}时,M?C3C3,同上可得M?2C3p2m?2m③当3p2m?3时,M?C3?C3,设f(p)?C3?C3,3p2m?3,p2m?pp2m?p:..当3p2m?4时,f(p?1)?f(p)?C3?C3?C3?C3?C2?C2,p?12m?p?1p2m?pp2m?p?1显然p?2m?p?1,当p?2m?p?1即mp2m?4时,f(p?1)?f(p),当p?2m?p?1即3pm?1时,f(p?1)?f(p),即f(m)?f(m?1)??f(2m?3);f(3)?f(4)???f(m),因此f(p)f(m)?2C3,,M2C3,即3Mm(m?1)(m?2).m【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合,还考查运算求解能力以及必然与或然思想,、(1)证明见解析;(2).5【解析】(1)由已知可得CF?AC,结合AC?BF,由直线与平面垂直的判定可得AC?平面BCF;(2)由(1)知,AC?CB,则CA,CB,CF两两互相垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直xy5线为,,z轴建立空间直角坐标系,设F(0,0,a),由二面角F?BD?C的余弦值为求解a,再由空间向5量求解直线AF与平面DFB所成角的正弦值.【详解】(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD,?ABC?60?,所以?ADC??BCD?120?.又AD=CD,所以?ACD?30?,因此?ACB?90?,AC?BC,又AC?BF,且BCBF?B,BC,BF?平面BCF,所以AC?平面BCF.(2)取BD的中点G,连接CG,FG,由于CB?CD,因此CG?BD,又FC?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以FC??CG?C,FC,CG?平面FCG,所以BD?平面FCG,故BD?FG,所以?FGC为二面角F?BD?,由于?BCD?120?,:..1因此CG?,又CB?CF?1,25因为cos?FGC?,所以tan?FGC?2,所以FC?1531????CAxCByCFzD(,?,0)F0,0,1B0,1,0以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系,则,,22?31??33?FD??,?,?1?,BD??,?,0?,????2222????设平面DBF的法向量为n??x,y,z??31?x?y?z?0?FD·n?0?22所以?,即?,令x?3,则y?1,z?1,?BD·n?0?33x?y?0????22??则平面DBF的法向量n?3,1,1,AF?(?3,0,1),|AF?n|5设直线AF与平面BDF所成角为?,则sin???|n||AF|5【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,?cos???sin??4?0C?x?1?2?y2?4?319、(1):,:;(2)【解析】(1)根据点斜式写出直线l的直角坐标方程,并转化为极坐标方程,利用sin2??cos2??1,将曲线C的参数方程转化为普通方程.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,结合直线参数的几何意义以及根与系数关系,求得PM?PN的值.:..【详解】ly?2?x?2?2x?y?4?0(1)的直角坐标方程为,即,则l的极坐标方程为2?cos???sin??4??x?1?2?y2?4曲线的普通方程为.?x??2?tcos?(2)直线l的参数方程为?(t为参数,?为l的倾斜角),y?tsin??代入曲线C的普通方程,得t2?2tcos??3??t??3M,NP??2,0?设M,对应的参数分别为,,所以,?PN?PM?PN?cosπ??tt??【点睛】本小题主要考查直角坐标化为极坐标,考查参数方程化为普通方程,考查直线参数方程,考查直线参数的几何意义,、(1)x?2y?2?2ln2?0;(2)当a0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;当0?a?1时,f(x)?1??1?在(0,1)和?,???上单调递增,在?1,?上单调递减;当a?1时,f(x)在(0,??)上单调递增;当a?1时,f(x)在?a??a??1??1??0,?和(1,??)上单调递增,在?,1?上单调递减.?a??a?【解析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(ax?1)(x?1)(2)易得函数定义域是(0,??),且f?(x)?.故分a0,0?a?1和a?1与a?1四种情况,分别分析得极值x点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】111(1)当a?0时,f(x)??x?lnx,f?(x)??1?,则切线的斜率为f?(2)??1???.x221又f(2)??2?ln2,则曲线f(x)在点(2,f(2))的切线方程是y?(?2?ln2)??(x?2),2即x?2y?2?2ln2?0.:..1(2)f(x)?ax2?(a?1)x?lnx的定义域是(0,??).21ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)f?(x)?ax?(a?1)???.xxx①当a0时,ax10,所以当x?(0,1)时,f?(x)?0;当x?(1,??)时,f?(x)?0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;1?1??1?0?a?1?1x?(0,1),??f?(x)?0x?1,f??x??0②当时,,所以当和??时,;当??时,,a?a??a??1??1?所以f(x)在(0,1)和?,???上