吉林省长春市实验中学2024年高三数学第一学期期末学业水平测试试题含精品9400.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..吉林省长春市实验中学2024年高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知:,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。“答题纸”上先填写姓名和准考证号。,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()?(i为虚数单位),则z?()2?????2i26??3.?x??的展开式中,含x3项的系数为()?x2?A.?60B.?,,则()?y2?4x?2y?1?0C:??1?a?0,b?0?,则双曲线的离心率为a2b2(),小圆柱底面半径为r,大圆柱底面半径为r,如图1放置容12h器时,液面以上空余部分的高为h,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为h,则1?()12h2:..r23?r??r?????rrrr1????,若输出的结果y?2,则输入的x值为().???2?a?a?a?a?15a?2a?4a?16a?,,若,,成等比数列,则()={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为()()A.[,3)∪(3,+∞)B.(-∞,3)∪(3,+∞)C.[,+∞)D.(3,+∞)1f?x??3sin2x?2cos2x?1f?x?,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不2y?g?x?g?x??g?x??9x?x变;再把所得图象向上平移1个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为1212:..()5?3??????f?x??Acos??x???A?0,??0,??,x?Rf?x???的部分图象如图所示,则的表达式是()?2??3??????x???x???24??4?????3???2x???x???4??24?二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。:①tan25°+tan35°?3tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);1?tan15?③1?tan15?其中,?ABCD中,P、:①存在111111P、Q两点,使BP?DQ;②存在P、Q两点,使BP、DQ与直线BC都成45?的角;③若|PQ|?1,则四面体1BDPQ的体积一定是定值;④若|PQ|?1,.(5分)已知椭圆方程为x2??1,过其下焦点F作斜率存在的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,2则AOB面积的取值范围是____________.:..16.(1?x)(1?x)4展开式中,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点M(?1,0),N(1,0),若点P(x,y)满足|PM|?|PN|?4.(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)过点Q(?3,0)的直线l与(Ⅰ)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△.(12分)为了解广大学生家长对校园食品安全的认识,某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查,每一位学生家长仅有一次参加机会,现对有效问卷进行整理,并随机抽取出了200份答卷,统计这些答卷的得分(满分:100分)制出的频率分布直方图如图所示,由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的N??,210??得分Z服从正态分布,其中近似为这200人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).(1)请利用正态分布的知识求P(36?Z?);(2)该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案:??①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费:②每次获赠的随机话费和对应的概率为:获赠的随机话费(单位:元)102021概率33市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人,请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费??2?????附:①210?;②若X~N?,?;则P????X?????,P??2??X???2??,P???3??X???3???.:..????1a?b?a?nS2b?b?19.(12分)已知数列和,前项和为,且S?n?n,是各项均为正数的等比数列,且,nnnnnn32531b+b?b?.12325????(1)求数列a和b的通项公式;nn?a?4b?n(2)?a?nSa?1a?S?Sn?N*20.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且,(,且n?2)nn1nnn?1?a?(1)求数列的通项公式;n11113(2)证明:当n?2时,?????a2a3ana2123n21.(12分)已知函数g(x)?ex?(a?1)x2?bx?1(a,b?R),其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)?g?(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求a的取值范围;(2)若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,且g(1)?0,.(10分)设f(x)?xex?ax2,g(x)?lnx?x?x2?1?(a?0)ag?x?(1)求的单调区间;h?x??f?x??ag?x??0a(2)设恒成立,、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【题目详解】S8018根据几何概型:p??,故S?.92005故选:D.:..【题目点拨】本题考查了根据几何概型求面积,、B【解题分析】根据复数的除法法则计算z,由共轭复数的概念写出z.【题目详解】55(2?i)10?5iz????2?i,2?i(2?i)(2?i)5?z?2?i,故选:B【题目点拨】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,、B【解题分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于3,求出r的值,即可求得含x3项的系数.【题目详解】262r????x?的展开式通项为T?Cr?x6?r???Cr???2?r?x6?3r,?????x2?r?16?x2?6C1???2???12令6?3r?3,得r?1,:B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,、C【解题分析】先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【题目详解】由题意得,∵,∴.故选C.:..【题目点拨】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义,、C【解题分析】22?2,?1?22将圆x?y?4x?2y?1?0,化为标准方程为,?y?4x?2y?1?0关于双曲线x2y2b1cb2????C:??1a?0,b?0的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,?.再根据e??1?求解.??a2b2a2a?a?【题目详解】已知圆x2?y2?4x?2y?1?0,?x?2?2??y?1?2?4所以其标准方程为:,?2,?1?:??1?a?0,b?0?因为双曲线,a2b2b所以其渐近线方程为y??x,ax2y2x2?y2?4x?2y?1?0C:??1?a?0,b?0?又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,a2b2则圆心在渐近线上,b1所以?.a2cb25??所以e??1????.a?a?2故选:C【题目点拨】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,、B【解题分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【题目详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为?r2h;在图2中,液面以上空余部分的体积为??r2h??r2h,所11221122:..??2hr以1??2?.h?r?21故选:B【题目点拨】本题考查圆柱的体积,、D【解题分析】根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【题目详解】1因为y?2,所以当?x+1??2,解得x?3>0,所以3是输入的x的值;2当2?x?1?2时,解得x??2?0,所以?2是输入的x的值,所以输入的x的值为?2或3,故选:D.【题目点拨】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,、A【解题分析】试题分析:设公差为d,a?a?a?3a?15?a?a?2d?5?a?5?2d?(a?2)(a?5d?16)23433111111?(7?2d)(3d?21)?81?2d2?7d?22?0?d?2或d??(舍),:、A【解题分析】由A?C?B可确定集合C中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,得到答案.【题目详解】A?C?BCC?2?,?2,0?,?2,1?,?2,0,1?由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4种情况,所以选A项.【题目点拨】考查集合并集运算,、A:..【解题分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【题目详解】因为函数,解得且;函数的定义域为,故选A.【题目点拨】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数的定义域为,、C【解题分析】y?f?x?y?g?x?利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为???g?x??2sin4x??1y?g?x???1,3?g?x??g?x??9g?x?g?x???,可得函数的值域为,结合条件,可得出、?6?1212y?g?x?x?xy?g?x?均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,【题目详解】???f?x??3sin2x?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin2x?函数??,?6?1???y?f?x?y?2sin4x?将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得??的图象;2?6????y?g?x??2sin4x??1y?g?x???1,3?再把所得图象向上平移1个单位,得函数??的图象,易知函数的值域为.?6?g?x??g?x??9g?x??3g?x??3y?g?x?若,则且,均为函数的最大值,1212???k?4x???2k??k?Z?x???k?Z?由,解得;6262xxy?g?x?其中、是三角函数最高点的横坐标,122???x?xy?g?x?TT??的值为函数的最小正周期的整数倍,:..【题目点拨】g?x?g?x?本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为12y?g?x?函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,、D【解题分析】???y?f?x??,2由图象求出A以及函数的最小正周期T的值,利用周期公式可求得的值,然后将点??的坐标代入函?6?y?f?x???y?f?x?数的解析式,结合的取值范围求出的值,由此可得出函数的解析式.【题目详解】?5???4?2?3y?f?x?T?2???????由图象可得A?2,函数的最小正周期为??,.?66?3T2???????3?????,2y?f?x?f?2cos????2cos???1将点??代入函数的解析式得????,得??,?6??6??26??4?????3???????,??????,则???0,????,2244444?3x??f?x??2cos?因此,??.?24?故选:D.【题目点拨】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③【解题分析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【题目详解】tan25??tan35?①∵tan60°=tan(25°+35°)??3,1?tan25?tan35?tan25°+tan35°?3tan25°tan35°;?3?1?tan25?tan35???3tan25°tan35°,:..?3,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°?3;1?tan15?tan45??tan15?③??tan(45°+15°)=tan60°?3;1?tan15?1?tan45?tan45?故答案为:①②③【题目点拨】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,、①③④【解题分析】对于①中,当P点与A点重合,Q与点C重合时,可判断①正确;当点P点与A点重合,BP与直线BC所成的角1111最小为60,可判定②不正确;根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD,高之和为PQ的棱锥,可判定③正确;四面体BDPQ在上下两个底面和在四个侧面上的投影,均为定值,可判定④正确.【题目详解】对于①中,当P点与A点重合,Q与点C重合时,BP?DQ,所以①正确;11对于②中,当点P点与A点重合,BP与直线BC所成的角最小,此时两异面直线的夹角为60,所以②不正确;11对于③中,设平面ABCD两条对角线交点为O,可得PQ?平面OBD,1111平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD,高之和为PQ的棱锥,所以四面体BDPQ的体积一定是定值,所以③正确;对于④中,四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形,其面积为定义,2四面体BDPQ在四个侧面上的投影,均为上底为,下底和高均为1的梯形,其面积为定值,2故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值,所以④:①③④.:..【题目点拨】本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,异面直线的关系和椎体的体积,以及投影的综合应用,着重考查了推理与论证能力,、(0,]2【解题分析】由题意,a?2,b?1,则22,得F(0,?1).由题意可设l的方程为y?kx?1,A(x,y),B(x,y),c?a?b?11122?y?kx?1y?12k联立方程组?,消去得(k2?2)x2?2kx?1?0,???恒成立,xx?,x?x?,则2x2?y2?2?012k2?212k2?2?22(k2?1)1|AB|?(1?k2)[(x?x)2?4xx]?,点O(0,0)到直线l的距离为d?,则1212k2?2k2?1212?k2?111S?|AB|?d1,又k2?1??2k2?1??2,则??2△AOB22k?1?k2?1k2?1k?2k2?1220?S??1△AOB12,当且仅当k2?1?,即k??1?2k?1k2?12(0,].216、2【解题分析】变换得到(1?x)(1?x)4?(1?x)4?x(1?x)4,展开式的通项为T?Crx4?r,?14【题目详解】(1?x)(1?x)4?(1?x)4?x(1?x)4,(1?x)4的展开式的通项为:T?Crx4??14:..含x2项的系数为:C2?C3?:2.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x2y2617、(Ⅰ)??1;(Ⅱ)?AOB面积的最大值为3,此时直线l的方程为x??y?【解题分析】(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程;1(2)设出直线方程后,采用?|AB|?d(d表示原点到直线AB的距离)表示面积,【题目详解】解:(Ⅰ)由定义法可得,P点的轨迹为椭圆且2a?4,c???(Ⅱ)设直线l的方程为x?ty?3与椭圆??1交于点A(x,y),4311B(x,y),联立直线与椭圆的方程消去x可得(3t2?4)y2?63ty?3?0,2263t?3即y?y?,yy?.123t2?4123t2?411?AOB面积可表示为S?|OQ|?|y?y|??3?(y?y)2?4yy△AOB21221212163t?33236??3?()2?4???9t2?3t2?4??3t2?123t2?43t2?423t2?43t2?46u6?≤3令3t2?1?u,则u≥1,上式可化为u2?33,u?u6当且仅当u?3,即t??时等号成立,36因此?AOB面积的最大值为3,此时直线l的方程为x??y?【题目点拨】:..常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题:(1)已知点M(?c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足|PM|?|PN|?2a且2a?2c,则P的轨迹是椭圆;(2)已知点M(?c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足||PM|?|PN||?2a且2a?2c,、(1);(2)估计此次活动可能赠送出100000元话费【解题分析】P?36?Z??(1)根据正态分布的性质可求的值.(2)设某家长参加活动可获赠话费为X元,利用题设条件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【题目详解】(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得??35??45??55??65??75??85??95????11?????65又36?65?2210,?65?210,P?36?Z??所以11?????;(2)根据题意,某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10,20,30,40元,且每位家长获得赠送1次、2次话费1的概率都为,2121得10元的情况为低于平均值,概率P???,233得20元的情况有两种,得分低于平均值,一次性获20元话费;得分不低于平均值,2次均获赠10元话费,概率111227P??????,23233181212得30元的情况为:得分不低于平均值,一次获赠10元话费,另一次获赠20元话费,其概率为P??C1???,223391111得40元的其情况得分不低于平均值,两次机会均获20元话费,概率为P????.23318所以变量X的分布列为:X102030401721P318918:..1721E?X??10??20??30??40??.【题目点拨】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望,注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行,本题属于中档题.?1?n?1?1?a?2nT?n?n?1??51?19、(1),b???;(2)??.nn5n?5n???【解题分析】(1)令n?1求出a的值,然后由n?2,得出a?S?S,然后检验a是否符合a在n?2时的表达式,即可得1nnn?11n?a??b?qbq出数列的通项公式,并设数列的公比为,根据题意列出和的方程组,解出这两个量,然后利用等比数nn1列的通项公式可求出b;n?b?nB(2)求出数列的前项和,【题目详解】(1)当n?1时,a?S?2,11?2????2???当n?2时,a?S?S?n?n?n?1?n?1??1?????a?2也适合上式,所以,a?2nn??1b?bq2??31?25?b?qq?0设数列的公比为,则,由?,n31??2?b?b?b?b1?q?q?????12312511两式相除得30q2?q?1?0,q?0,解得q?,b?1,?b?bqn?1?;51n15n?11??1?b1?qn515n???b?nBB?1??1?(2)设数列的前项和为,则??,nnn1?q145n??1?55?1??1??T?S?4B?n?n?1??4?1??n?n?1??51?????.nnn4?5n??5n?【题目点拨】本题考查利用S求a,同时也考查了等比数列通项的计算,以及分组求和法的应用,考查计算能力,:..20、(1)a?2n?1(2)见证明n【解题分析】(1)由题意将递推关系式整理为关于S与S的关系式,求得前n项和然后确定通项公式即可;nn?1(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【题目详解】(1)由a?S?S,得S?S?S?S,即S?S?1(n?2),nnn?1nn?1nn?1nn?1??所以数列S是以S?a?1为首项,以1为公差的等差数列,n11所以S?1?(n?1)?1?n,即S?n2,nn当n?2时,a?S?S?2n?1,nnn?1当n?1时,a?S?1,也满足上式,所以a?2n?1;11n111111?11?(2)当n?2时,?????,??nan(2n?1)n(2n?2)2n(n?1)2?n?1n?n11111?11111?313所以????????1?1???????????a2a3ana2?223n?1n?22n2123n【题目点拨】给出S与a的递推关系,求a,常用思路是:一是利用a?S?S转化为a的递推关系,再求其通项公式;二nnnnnn?1n是转化为S的递推关系,先求出S与n之间的关系,?3??e?21、(1)???,??1,???;(2)(e?1,2).???2??2?【解题分析】(1)求出g?(x)?f(x),再求f?(x)?0,x?[0,1]恒成立,以及f?(x)?0,x?[0,1]恒成立时,a的取值范围;(2)由已知g(1)?g(0)?0,g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,转化为f(x)?g?(x)在区间(0,1)内恰有两个零点,由(1)的结论对a分类讨论,根据f(x)单调性,结合零点存在性定理,即可求出结论.【题目详解】(1)由题意得f(x)?ex?2(a?1)x?b,则f?(x)?ex?2(a?1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f?(x)?ex?2(a?1)0在区间[0,1]上恒成立.:..??3∴2(a?1)ex?1(其中x?[0,1]),(x)在区间[0,1]上单调递减时,f?(x)?ex?2(a?1)0在区间[0,1]上恒成立,??e∴2(a?1)ex?e(其中x?[0,1]),解得a??3??e?综上所述,实数a的取值范围是???,??1,???.???2??2?(2)g?(x)?ex?2(a?1)x?b?f(x).由g(0)?g(1)?0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,xg(x)?0,x?设该零点为,(x)?0,x?x∴在区间内存在零点,01f(x)?x,1?∴f(x)在区间(0,1)(1)易知,当a时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,2故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,?1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,2故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意,3e∴?a???(x)?0,得x?ln(2a?2)?(0,1),22∴函数f(x)在区间(0,ln(2a?2)]上单凋递减,在区间(ln(2a?2),1)(x)x,x?x?x?记的两个零点为,1212∴x?(0,ln(2a?2)],x?(ln(2a?2),1),必有f(0)?1?b?0,f(1)?e?2a?2?b?(1)?0,得a?b?e.:..?1?∴f???e?1?(a?b)?e?1?e?0?2?又∵f(0)?a?e?1?0,f(1)?2?a?0,∴e?1?a?,实数a的取值范围为(e?1,2).【题目点拨】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、零点问题,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.?0,1?(1,??)0?a?e22、(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2)【解题分析】?(2x?1)(x?1)g'(x)?g'?x??0g'?x??0(1),令,解不等式即可;xa(x?1)aah'(x)?(x?1)ex??(x?1)(ex?)h??x??0ex?h(x)(2),令得x,即0,且的最小值为xx0x0ah?x??xex?alnx?ax?a?eh?x??0ex?0,令,【题目详解】1?(2x?1)(x?1)(1)g'(x)?1??2x?,x?(0,??)xxx??0,1?g'?x??0g?x?当时,,递增,x?(1,??)g'?x??0g?x?当时,,?x??0,1?(1,??)故的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)h(x)?f(x)?ag(x)?xex?alnx?ax?a?e,a(x?1)ah'(x)?(x?1)ex??(x?1)(ex?),xxaa?0h??x??0ex?,设的根为x,即有0可得,0x0x?lna?lnxx??0,x?h'?x??0h?x?,当时,,递减,000:..x?(x,??)h'?x??0h?x?当时,,?h(x)?h?x??xex?alnx?ax?a?e0min0000a?x?a?x?lna??ax?a?e0x000?e?alna?0,所以alna?e,①当a?(0,1],alna?0?e;??a??alna???a??1?lna?0②当a?1时,设,??a??alnaalna?e1?a?e递增,,,0?a?e.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题,这里要强调一点,处理恒成立问题时,通常是构造函数,将问题转化为函数的极值或最值来处理.