天津市北辰区2024学年高三第一次高考模拟考试数学试题试卷.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..天津市北辰区2024学年高三第一次高考模拟考试数学试题试卷注意事项:,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。,预备时,,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是(),其中A与B不相邻的所有不同的坐法种数是()(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,“李白沽酒”,若输出的的值为,则输入的x的值为()?sinx?xx???2?,2??().:..,D为边BC的中点,E、F分别为边AB、AC上的动点,并满足AE?2CF,则DE?DF的取值范围是()1111A.[?,]B.(??,]C.[?,0]D.(??,0]216162?a?Sn2a?a?,若为前项和,,则的值是()??a?a?2a?a?a2?b?、b?R,数列满足,,n?N,则()n1n?,都存在实数M,使得a?,都存在实数M,使得a?M恒成立nb??2?4a,???a?,都存在实数M,使得恒成立nb??0,2?4a?a?,都存在实数M,使得恒成立nf?x??2x?3x?1??2,1?()22A.,-2B.?,-9C.-2,-,-,则该几何体的体积为().“a?2”是“直线ax?2y?1?0与x?(a?1)y?2?0互相平行”的():..,则圆与圆的位置关系是(),当水平放置时,如图,(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。:y2?2px(p?0)的焦点,过F作直线与C相交于P,Q两点,且Q在第一象限,若2PF?FQ,则直线PQ的斜率是_________.?2?x,x?(x)??,则f[f(log)],x?0343?3??k?17??2???x?2,x?0?4?f?x??4g?x?=kx-x,???,??,其中k??3??x2,x?0?f?x??g?x?k,,曲线C:xy?3上任意一点P到直线l:x?3y?、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F分别是棱AB,::..(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥.(12分)已知F,F为椭圆E:+?1(a?b?0)的左、右焦点,离心率为,点P?2,3?(1)求椭圆E的方程;11Fl,lA、CB、Dl?l?,?,(2)过的直线分别交椭圆于和,且,问是否存在常数,使得成等差数列?11212ACBD若存在,求出?的值;若不存在,.(12分)已知函数f(x)?ax2?(a?1)x?lnx,a?(1)当a?0时,求曲线f(x)在点(2,f(2))的切线方程;(2)讨论函数f(x).(12分)某保险公司给年龄在20?70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从10000名参保人员中随机抽100?20,30?,?30,40?,?40,50?,?50,60?,?60,70?取名作为样本进行分析,按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示;,该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.:..年龄?20,30??30,40??40,50??50,60??60,70?(单位:岁)保费x2x3x4x5x(单位:元)(1)用样本的频率分布估计总体分布,为使公司不亏本,求x精确到整数时的最小值x;0?60,70?5012000(2)经调查,年龄在之间的老人每人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元,1000066x?1?x如果参保,,若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费0用为X元;若没有购买该项保险,,并判断该老人购买此项保险是否划算?21.(12分)已知?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足3sinA?cosA?:①a?1;3②b?3;③S?.其中三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件完成下面两个问题:?ABC4(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD?AC,求?.(10分)已知等差数列的前n项和为,且,.求数列的通项公式;求数列的前n项和.:..参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【题目详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨:B.【题目点拨】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,、A【解题分析】先将除A,B以外的两人先排,再将A,B在3个空位置里进行插空,再相乘得答案.【题目详解】先将除A,B以外的两人先排,有A2?2种;再将A,B在3个空位置里进行插空,有A2?3?2?6种,所以共有232?6?:A【题目点拨】本题考查排列中不相邻问题,常用插空法,、C【解题分析】根据程序框图依次计算得到答案.【题目详解】y?3x?4,i?1;y?3y?4?9x?16,i?2;y?3y?4?27x?52,i?3;:..y?3y?4?81x?160,i?4;y?3y?4?243x?484,此时不满足i?3,跳出循环,输出结果为243x?484,由题意y?243x?484?2,得x?:C【题目点拨】本题考查了程序框图的计算,、D【解题分析】讨论x的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【题目详解】当x?0时,y?sinx?x,则y??cosx?1?0,?0,2??所以函数在上单调递增,g?x??cosx?1g??x???sinx令,则,根据三角函数的性质,x??0,??g??x???sinx?0当时,,故切线的斜率变小,x???,2??g??x???sinx?0当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当x?0时,y??sinx?x,则y???cosx?1?0,??2?,0?所以函数在上单调递增,h?x???cosx?1h??x??sinx令,,x???2?,???h??x??sinx?0当时,,故切线的斜率变大,x????,0?h??x??sinx?0当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【题目点拨】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,、A【解题分析】建立平面直角坐标系,求出直线AB:y?3(x?1),AC:y??3(x?1):..设出点E(m,3(m?1)),F(n,?3(n?1)),通过|AE|?2|CF|,,将表示成m与n的关系式,消元,转化成m或n的二次函数,利用二次函数的相关DE?DF知识,求出其值域,即为DE?DF的取值范围.【题目详解】xy以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设A(0,3),B(?1,0),C(1,0),则直线AB:y?3(x?1),AC:y??3(x?1)设点E(m,3(m?1)),F(n,?3(n?1)),?1?m?0,0?n?1所以AE?(m,3m),CF?(n?1,?3(n?1))由|AE|?2|CF|得m2?4(n?1)2,即m?2(n?1),71所以DE?DF?mn?3(m?1)(n?1)??4n2?7n?3??4(n?)2?,81617111由?1?m?2(n?1)?0及0?n?1,解得?n?1,由二次函数y??4(n?)2?的图像知,y?[?,],所以281621611DE?DF的取值范围是[?,].【题目点拨】本题主要考查解析法在向量中的应用,、A【解题分析】因为a?a?2a?a?12,可得a?12,根据等差数列前n项和,【题目详解】a?a?2a?a?12,711911?a?12,713?a?a??S?113?13a?13?12?:A.【题目点拨】本题主要考查了求等差数列前n项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n项和公式,考查了分析能力和计算能力,、D:..【解题分析】??1?1?4ab取a?b?1,可排除AB;由蛛网图可得数列a的单调情况,进而得到要使a?M,只需2?,由此nn2a可得到答案.【题目详解】a?b?1a?a2?1?a?取,,数列恒单调递增,且不存在最大值,故排除AB选项;n?1nn1?1?4ab1?1?4ab由蛛网图可知,ax2?b?x存在两个不动点,且x?,x?,12a22a0?a?x?a?a?x因为当时,数列单调递增,则;11nn1x?a?x?a?x?a?a当时,数列单调递减,则;112n1n11?1?4ab所以要使a?M,只需要0?a?x,故2?,化简得b?2?4a且b?:D.【题目点拨】本题考查递推数列的综合运用,考查逻辑推理能力,、B【解题分析】??2,1?由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【题目详解】?15x?1,?2?x??????3f?x??2x?3x?1?依题意,?,1??x?1,??x?1????3f?x?作出函数的图象如下所示;:..12x??f?x??由函数图像可知,当时,有最大值,33f?x??9当x??2时,:B.【题目点拨】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,、A【解题分析】利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【题目详解】几何体的三视图的直观图如图所示,12则该几何体的体积为:?1?1?2?.33故选:A.【题目点拨】本题考查三视图求解几何体的体积,、A【解题分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【题目详解】:..当a?2时,直线方程为2x?2y?1?0与x?y?2?0,可得两直线平行;ax?2y?1?0x??a?1?y?2?0a?a?1??2a?2若直线与互相平行,则,解得,1a??1a?2ax?2y?1?0x??a?1?y?2?0,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选A2【题目点拨】本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,、B【解题分析】化简圆到直线的距离,、B【解题分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【题目详解】正方体的面对角线长为22,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为2,故选B.【题目点拨】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、22【解题分析】作出准线,过P,Q作准线的垂线,利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用平面几何知识计算出直线的斜率.【题目详解】设l是准线,过P作PM?l于M,过Q作QN?l于N,过P作PH?QN于H,如图,则PM?PF,QN?QF,∵2PF?FQ,∴QF?2PF,∴QN?2PM,:..∴QH?NH?PM?PF,PH?(3PF)2?PF2?22PF,PH∴tan?HQF??22,∴:22.【题目点拨】本题考查抛物线的焦点弦问题,解题关键是利用抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离,、?2【解题分析】1根据题意,由函数的解析式求出f(log)的值,【题目详解】?2?x,x0,根据题意,函数f(x)??,?logx,x?(log)?f(?log3)?f(?log3)?3,434211331则f[f(log)]?f()?log??;34333321故答案为:?.2【题目点拨】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,、[,6]3:..【解题分析】xf?x??g?x?根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.【题目详解】??k?17??2???x?2,x?0f?x??4k>0,解:函数???,且?x2,x?0?f?x?画出的图象如下:?4?g?x??kx?x,f?x??g?x?因为??,且存在唯一的整数使得,?3?g?x?f?x?x?0故与在时无交点,k?1717?k?,得k?;43?4??4?g?x??kx??g?x?,0又??,过定点???3??3?4xf?x??g?x?x?x?2又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以3585g?3?=k??f?3??9,39:..?x?3,f?x??g?x?存在唯一的整数使得2g?2??k?f?2??4?k?6所以38?g?4?=k?f?4??16?k?6f?x??g?x?.根据图像可知,当x?4时,?3,f?x??g?x??k?6综上所述,存在唯一的整数使得,此时317故答案为:[,6]3【题目点拨】?4?本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点?,0?右边的整数点中x?3为满足条件?3?的唯一整数,再数形结合列出x?2,、3【解题分析】?3?解法一:曲线C上任取一点P?x,?,利用基本不等式可求出该点到直线l的距离的最小值;?0x??0?33解法二:曲线C函数解析式为y?,由y???求出切点坐标,【题目详解】?3?解法一(基本不等式):在曲线C上任取一点P?x,?,?0x??0?3x?l0x1?3?13该点到直线的距离为,d?0??x????2x??322?0x?20x?0?03x?x??3当且仅当0时,即当时,等号成立,x00因此,曲线C上任意一点P到直线l距离的最小值为3;33解法二(导数法):曲线C的函数解析式为y?,则y???,xx2:..?3?33设过曲线C上任意一点P?x,?的切线与直线l平行,则???,解得x??3,?0?20?x?x300??23当x?3时,P3,1到直线l的距离d??3;02??23当x??3时,P?3,?1到直线l的距离d??:xy?3上任意一点到直线l:x?3y?:3.【题目点拨】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算,可转化为利用切线与直线平行来找出切点,转化为切点到直线的距离,也可以设曲线上的动点坐标,利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解题分析】(1)取PD的中点G构造平行四边形AEFG,得到EF//AG,从而证出EF//平面PAD;(2)先证EF?平面PCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD?平面PCE.【题目详解】证明:(1)如图,取PD的中点G,连接AG,FG,E是棱AB的中点,底面ABCD是矩形,1?AE//CD,且AE?CD,2又F,G分别是棱PC,PD的中点,1?FG//CD,且FG?AC,2?AE//FG,且AE?FG,?四边形AEFG为平行四边形,?EF//AG,又EF??平面PAD,AG?平面PAD,?EF//平面PAD;(2)PA?AD,点G是棱PD的中点,:..?AG?PD,又EF//AG,?EF?PD,PA?平面ABCD,CD?平面ABCD,?PA?CD,底面ABCD是矩形,?AD?CD,PA?平面ABCD,AD?平面ABCD,且PAAD?A,CD平面PAD,又AG?平面PAD,?CD?AG,FE//AG,?CD?EF,又CD?平面PCD,PD?平面PCD,且CDPD?D,?EF?平面PCD,又EF?平面PCE,?平面PCD?平面PCE.【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定,面面垂直的判定,首选判定定理,、(1)??1;(2)存在,.161248【解题分析】(1)由条件建立关于a,b,c的方程组,可求得a,b,c,得出椭圆的方程;(2)①当直线l的斜率不存在时,可求得AC?6,BD?8,,求得?,②当直线l的斜率存在且不为0时,设ACAC24(1?k2)24(k2?1)l:y?k(x?2)联立直线与椭圆的方程,求出线段AC?,再由l?l得出线段BD?,根AC21224k?34?3k据等差中项可求得?,得出结论.:..【题目详解】?c1e???a2??a2?16?49?x2y2(1)由条件得???1??b2?12,所以椭圆E的方程为:??1;a2b21612??2c?4?a2?b2?c2???(2)F(?2,0),1111177①当直线l的斜率不存在时,AC?6,BD?8,????,此时?=,ACACBD682448?x2y2???1②当直线l的斜率存在且不为0时,设l:y?k(x?2),联立?1612消元得ACAC?y?k(x?2)?(4k2?3)x2?16k2x?16k2?48?0,16k216k2?48设A(x,y),C(x,y),x?x??,xx?1122124k2?3124k2?324(1?k2)?AC=1?k2x?x?1?k2?(x?x)2?4xx?,1212124k2?3?1?241?(?)21??24(k2?1)?k?直线BD的斜率为?,同理可得BD??k14?3k24(?)2?3k114k2?34?3k27(1?k2)7??????,ACBD24(1?k2)24(k2?1)24(1?k2)2477?2?=,所以?=,2448711?=,?,综合①②,存在常数,【题目点拨】本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题,当两直线的斜率具有关系时,可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长,、(1)x?2y?2?2ln2?0;(2)当a0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;当0?a?1时,f(x):..?1??1?在(0,1)和?,???上单调递增,在?1,?上单调递减;当a?1时,f(x)在(0,??)上单调递增;当a?1时,f(x)在?a??a??1??1??0,?和(1,??)上单调递增,在?,1?上单调递减.?a??a?【解题分析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(ax?1)(x?1)(2)易得函数定义域是(0,??),且f?(x)?.故分a0,0?a?1和a?1与a?1四种情况,分别分析得极值x点的关系进而求得原函数的单调性即可.【题目详解】111(1)当a?0时,f(x)??x?lnx,f?(x)??1?,则切线的斜率为f?(2)??1???.x221又f(2)??2?ln2,则曲线f(x)在点(2,f(2))的切线方程是y?(?2?ln2)??(x?2),2即x?2y?2?2ln2?(2)f(x)?ax2?(a?1)x?lnx的定义域是(0,??).21ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)f?(x)?ax?(a?1)???.xxx①当a0时,ax10,所以当x?(0,1)时,f?(x)?0;当x?(1,??)时,f?(x)?0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;1?1??1?0?a?1?1x?(0,1),??f?(x)?0x?1,f??x??0②当时,,所以当和??时,;当??时,,a?a??a??1??1?所以f(x)在(0,1)和?,???上单调递增,在?1,?上单调递减;?a??a?1③当a?1时,?1,所以f?(x)0在(0,??)(x)在(0,??)上单调递增;a1④当a?1时,0??1,a?1??1?所以x??0,?和(1,??)时,f?(x)?0;x??,1?时,f?(x)?0.?a??a?:..?1??1?所以f(x)在?0,?和(1,??)上单调递增,在?,1?上单调递减.?a??a??1?综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;当0?a?1时,f(x)在(0,1)和?,???上单调递?a??1??1?增,在?1,?上单调递减;当a?1时,f(x)在(0,??)上单调递增;当a?1时,f(x)在?0,?和(1,??)上单调递增,在?a??a??1??,1?上单调递减.?a?【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,、(1)30;(2)E(Y)?E(X),比较划算.【解题分析】(1)由频率和为1求出a?,,?100即可求出结果,最后取近似值即可;(2)分别计算参保与不参保时的期望E(X),E(Y),比较大小即可.【题目详解】???a????10?1解:(1)由,解得a?:10000???2x????4x??5x??10000?∴要使公司不亏本,则10000??1000000,?100100解得x??,∴x?(2)①若该老人购买了此项保险,则X的取值为150,?X?150??,P?X?2150??5050491∴E(X)?150??2150??147?43?190(元).5050:..②若该老人没有购买此项保险,?Y?0??,P?Y?12000??5050491∴E(Y)?0??12000??240(元).5050E(Y)?E(X)∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.【题目点拨】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力,掌握频率分布直方图的基本性质,知道数学期望是平均数的另一种数学语言,、(1)1;(2).12【解题分析】5?(1)先求出角A?,进而可得出a?b,则①②中有且只有一个正确,③正确,然后分①③正确和②③正确两种情6况讨论,结合三角形的面积公式和余弦定理可求得c的值;S11(2)计算出?BAD和?CAD,计算出?ABD?,可得出S?S,进而可求得??ABD3?ABC?ACD【题目详解】3(1)因为3sinA?cosA?0,所以3tanA?1?0,得tanA??,35?0?A??,?A?,6A为钝角,与a?1?b?3矛盾,故①②中仅有一个正确,③?bcsinA?,得bc?3.?ABC24当①③正确时,由a2?b2?c2?osA,得b2?c2??2(无解);当②③正确时,由于bc?3,b?3,得c?1;5???(2)如图,因为A?,?CAD?,则?BAD?,623:..1AB?AD?sin?BADS211133则?ABD??,?S?S???.S12?ABD?ABCAC?AD?sin?CAD33412?ACD2【题目点拨】本题考查解三角形综合应用,涉及三角形面积公式和余弦定理的应用,考查计算能力,、(1);(2).【解题分析】先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,.【题目详解】解:设公差为d的等差数列的前n项和为,且,.则有:,解得:,,所以:由于:,所以:,则:,则:,.【题目点拨】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.