山西省忻州市忻州一中2024届下学期高三数学试题3月月考考试试卷1619.pdf

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a?9,d=-21141111n?n?1?前n项和S?9n????2????n?5?2??:D【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,、C【解题分析】根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【题目详解】A:当a??时,也可以满足a∥b,b∥?,故本命题不正确;B:当a??时,也可以满足,b??,故本命题不正确;a?bC:根据平行线的性质可知:当a∥b,b??,时,能得到a??,故本命题是正确的;D:当a??时,也可以满足,b∥?,?b故选:C【题目点拨】本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,、C【解题分析】b?1先从函数单调性判断2a?b的取值范围,再通过题中所给的a,b是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值a?1范围.【题目详解】?f?x??0,???f(2a?b)?1?f?4?由y?f(x)的图象知函数在区间单调递增,而2a?b?0,故由可知2a?b??14?2a?17故???2??5,a?1a?1a?1:..b?1b?171???2??b?11又有a?1bb3,综上得的取值范围是(,5).3?3?a?1322故选:C【题目点拨】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识,、B【解题分析】??(a?b)?b由a?a?b,|a|?3,|b|?2?a?b?3,再由向量a?b在向量b方向的投影为化简运算即可|b|【题目详解】????2∵a?a?b∴a?a?b?a?a?b?3?a?b?0,∴a?b?3,2(a?b)?ba?b?b3?47∴向量a?b在向量b方向的投影为|a?b|cosa?b,b????.|b||b|22故选:B.【题目点拨】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。113、4【解题分析】采用列举法计算古典概型的概率.【题目详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),1在家学****只有1种情况,即(正,正),:4【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.?1?14、,e???e?【解题分析】:..?x???y?ax根据指数函数y?ex与对数函数y?lnx图象可将原题转化为e?axlnx?ax?0恒成立问题,凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间;利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率,结合分母不为零的条件可最终确定a的取值范围.【题目详解】由指数函数y?ex与对数函数y?lnx图象可知:ex?lnx,ex?ax???f?x??0ex?ax?lnx?ax??0xy?ax恒成立可转化为?0恒成立,即恒成立,?e?ax?lnx,即是lnx?ax夹在函数y?ex与y?lnx的图象之间,?y??lnx?m,lnm?设过原点且与相切的直线与函数相切于点,?m?e1lnm?则切线斜率k??,解得:?1;1mmk??1?e??设过原点且与y?ex相切的直线与函数相切于点n,en,en?n?1则切线斜率k?en?,解得:?;2n?k?e2111当a?时,lnx?x?0,又lnx?ax?0,?a?满足题意;eee?1?综上所述:实数a的取值范围为,e?.??e?【题目点拨】本题考查恒成立问题的求解,重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法;关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题;易错点是忽略分母不为零的限制,、[,6]3【解题分析】xf?x??g?x?根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.【题目详解】:..??k?17??2???x?2,x?0f?x??4k>0,解:函数???,且?x2,x?0?f?x?画出的图象如下:?4?g?x??kx?x,f?x??g?x?因为??,且存在唯一的整数使得,?3?g?x?f?x?x?0故与在时无交点,k?1717?k?,得k?;43?4??4?g?x??kx??g?x?,0又??,过定点???3??3?4xf?x??g?x?x?x?2又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以3585g?3?=k??f?3??9,39?x?3,f?x??g?x?存在唯一的整数使得2g?2??k?f?2??4?k?6所以3:..8?g?4?=k?f?4??16?k?6f?x??g?x?.根据图像可知,当x?4时,?3,f?x??g?x??k?6综上所述,存在唯一的整数使得,此时317故答案为:[,6]3【题目点拨】?4?本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点?,0?右边的整数点中x?3为满足条件?3?的唯一整数,再数形结合列出x?2,?16、3【解题分析】先确定顶点在底面的射影,再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高,利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱锥的体积的三倍即可解决.【题目详解】设顶点在底面上的射影为H,H是三角形ABC的内心,内切圆半径r??,△PAB,PBC,PAC的高PD?PE?PF?2,PH?3,设内1111切球的半径为R,((3?4?5)?2??3?4)?R?3???3?4?3?63223234?∴R?,内切球表面积S?4?R2?.334?故答案为:.3【题目点拨】本题考查三棱锥内切球的表面积问题,考查学生空间想象能力,本题解题关键是找到内切球的半径,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)a?,b?5,乙公司影响度高;(2)见解析,E(X)?2【解题分析】(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在[10,20)中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数X的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【题目详解】:..(1)由直方图知,(a????a)?10?1,解得a?,由频数分布表中知:2?b?20?10?3?40,解得b?,甲公司的导游优秀率为:(?)?10?100%?30%,10?3乙公司的导游优秀率为:?100%?%,%?30%,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在[10,20)?10?40?4人,乙公司旅游总收入在[10,20)中的有2人,故X的可能取值为1,2,3,易知:C1C241C2C1123P(X?1)?42??,P(X?2)?42??;C3205C320566C341P(X?3)?4??.C32056所以X的分布列为:X123131P555131E(X)?1??2??3??【题目点拨】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,、(1)B?;(2)b?34【解题分析】A?C(1)通过正弦定理和内角和定理化简bsin(A?B)?csin,再通过二倍角公式即可求出B;2(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出b的表达式后即可求出b的值.【题目详解】B(1)由三角形内角和定理及诱导公式,os,2B结合正弦定理,得sinB?cos,2BπB1由0??及二倍角公式,得sin?,2222:..Bππ即?,故B?;2631(2)由题设,得acsinB?3,从而ac?4,2222b2??a?c?2?12由余弦定理,得b?a?c?osB,即,a?b?c?8b2??8?b?2?12又,所以,13解得b?.4【题目点拨】本题综合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面积公式,???3??A19、(1);(2)投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大35【解题分析】?42,47??47,52?P???3?(1)首先计算出在,内抽取的人数,然后利用超几何分布概率计算公式,计算出.(2)分别计算出投入1,2,3艘游艇时,总利润的期望值,由此确定当日游艇投放量.【题目详解】?42,47??47,52?(1)年龄在内的游客人数为150,年龄在内的游客人数为100;若采用分层抽样的方法抽取10人,?42,47??47,52?则年龄在内的人数为6人,???3??46??Y??3(2)①当投入1艘A型游船时,因客流量总大于1,则(万元).②当投入2艘A型游船时,?5?211?X?3Y?3????P?1?X?3???若,则,此时??;?2?1054X?3Y?3?2?6P?Y?6??P?3?X?5??P?X?5??若,则,此时;5此时Y的分布列如下表:?Y????6??(万元).55:..③当投入3艘A型游船时,211?X?3Y?3?1?2P?Y?2??P?1?X?3???若,则,此时;10523?X?5Y?3?2???Y???P?3?X?5??若,则,此时;52X?5Y?3?3?9P?Y?9??P?X?5??若,则,此时;5此时Y的分布列如下表:?Y??2????9??(万元)??3,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大.【题目点拨】本小题主要考查分层抽样,考查超几何分布概率计算公式,考查随机变量分布列和期望的求法,考查分析与思考问题的能力,考查分类讨论的数学思想方法,、(1)C:?y2?1,C:x?y?4?0;(2)PQ?2,此时P(,).132min22【解题分析】x2试题分析:(1)C的普通方程为?y2?1,C的直角坐标方程为x?y?4?0;(2)由题意,可设点P的直角坐132|3cos??sin??4|π标为(3cos?,sin?)?P到C的距离d(?)??2|sin(??)?2|232π31?当且仅当??2kπ?(k?Z)时,d(?)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为(,).622x2试题解析:(1)C的普通方程为?y2?1,C的直角坐标方程为x?y?4?(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?),因为C是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C的距离d(?)22|3cos??sin??4|π的最小值,d(?)??2|sin(??)?2|.23π31当且仅当??2kπ?(k?Z)时,d(?)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为(,).622考点:坐标系与参数方程.:..【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;(x,y)?0化为参数方程的关键:一是适当选取参数;、(1)见解析.(1).【解题分析】试题分析:(1)直接计算,由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可;(1),:(1)证明:函数f(x)=|x﹣a|,a<2,则f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<≤a时,f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,则f(x)≥﹣a;当a<x<时,f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,则﹣<f(x)<﹣a;当x时,f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,则f(x)≥﹣.则f(x)的值域为[﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即为>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,:、(1)a?2n??;b?2n??(2)S?2n?1?2??n;T?2n?1?2??nn22n22n44n44【解题分析】a?b?2(a?b)a?b?4?a?b?a?b?a?b?1?a?b?(1),,可得为公比为2的等比数列,可得n?1n?1nn11nnn?1n?1nnnn?a?b??a?b?为公差为1的等差数列,再算出,的通项公式,解方程组即可;nnnn(2)利用分组求和法解决.【题目详解】?a?b?2?a?b?(1)依题意有?n?1n?1nn?a?b?a?b?1n?1n?1nn:..又a?b?4;a?b??a?b??a?b?可得数列为公比为2的等比数列,为公差为1的等差数列,nnnn?a?b??a?b??2n?1?a?b?2n?1?由?nn11,得?nna?b??a?b??(n?1)a?b?n?1?????nn1