解析几何-期中必做题(详解版).pdf

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共线问题21已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆交于两点,,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,(共42页)大海教育在线1对1:..答案(1).(2)(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程是.(2),则有,.又因为点是椭圆的右顶点,,,,,,,,(共42页):..椭圆椭圆的定义、图形及标准方程直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系向量点乘问题过定点问题22已知椭圆,过点作圆的切线交椭圆于,两点.(1)求椭圆的焦点坐标和离心率;(2)将表示为的函数,(1)焦点坐标为,,离心率为.(2).解析(1)由已知得,,,,离心率为.(2)由题意知,.当时,切线的方程,点、的坐标分别为,,此时当时,同理可得当时,设切线l的方程为,由,得设、两点的坐标分别为、,则,又由与圆相切,得,(共42页)大海教育在线1对1:..,,所以,.因为,且当时,,、图形及标准方程椭圆的离心率直线与圆锥曲线弦长或面积问题23已知是椭圆上两点,点的坐标为.(1)当两点关于轴对称,且为等边三角形时,求的长;(2)当两点不关于轴对称时,证明:(1)当时,;当时,.(2)(1)设,,因为为等边三角形,,所以消去,得到,解得或,当时,;当时,.大海教育在线1对1第31页(共42页):..{说明:若少一种情况扣分}(2)法1:根据题意可知,:,,,中点为,联立消去得,由得到①所以,,所以,又如果为等边三角形,则有,所以,即,化简,②由②得,代入①得,化简得,不成立,{此步化简成或或都给分}:设,则,且,所以,设,同理可得,且因为在上单调所以,有,因为不关于轴对称,,(共42页)大海教育在线1对1:..直线与圆锥曲线的位置关系24已知椭圆,直线与相交于两点,与轴、轴分别相交于、两点,为坐标原点.(1)若直线的方程为,求外接圆的方程;(2)判断是否存在直线,使得是线段的两个三等分点,若存在,求出直线的方程;若不存在,(1)外接圆的方程为.(2)存在直线,使得是线段的两个三等分点,此时直线的方程为,(1)因为直线的方程为,所以与轴的交点,,,即外接圆的圆心为,半径为,所以外接圆的方程为.(2)结论:存在直线,:由题意,设直线的方程为,,,则,,由方程组得,所以,(*)由韦达定理,得,.由是线段的两个三等分点,,,,大海教育在线1对1第33页(共42页):..即,(*),使得是线段的两个三等分点,此时直线的方程为,、图形及标准方程直线与圆锥曲线弦长或面积问题25已知椭圆.(1)求椭圆的离心率;(2)设椭圆上在第二象限的点的横坐标为,,两点关于坐标原点的对称点分别为,(1)(2)解析(1)由题意,椭圆的标准方程为所以,从而因此,故椭圆的离心率(2)由题意可知,(共42页)大海教育在线1对1:..由,,得所以又原点到直线的距离为所以的面积当且仅当,,四边形为平行四边形,所以,四边形的面积,、图形及标准方程椭圆的离心率直线与圆锥曲线弦长或面积问题26已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和.(1)(共42页):..(2)设为椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,:.答案(1)椭圆的方程为.(2)(1)由题意有,,所以,,,所以椭圆的方程为.(2)显然,直线的斜率存在,设直线的方程为:,由得,显然,,因为,所以,设直线的方程为,由得,所以,要证成立,只要证,即,左边,右边,左边右边,、图形及标准方程直线与圆锥曲线第36页(共42页)大海教育在线1对1:..弦长或面积问题27已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线过点,,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;如果不存在,(1).(2)存在点,(1)由题意知:.根据椭圆的定义得:,.(2)假设在轴上存在点,,.,.由于,,,.当直线的斜率不为时,设直线的方程为:,.:.,,所以大海教育在线1对1第37页(共42页):...综上所述:在轴上存在点,、图形及标准方程直线与圆锥曲线向量点乘问题定值问题28已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)设,直线与椭圆交于,两点,若直线,均与圆()相切,(1).(2).解析(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以,所以,,所以椭圆的方程为.(2)设,,因为直线,与圆相切,所以,即,通分得,所以,整理,得.①第38页(共42页)大海教育在线1对1:..联立,得,所以,,代入①,、图形及标准方程抛物线抛物线的定义、图形及标准方程直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系29已知椭圆:.(1)求椭圆的离心率.(2)椭圆的长轴的两个端点分别为,,点在直线上运动,直线,分别与椭圆相交于,两个不同的点,求证:(1).(2)(1)椭圆中,,,.所以,,.所以椭圆的离心率为.(2)因为点在直线上,所以可设.,.所以不妨设,.大海教育在线1对1第39页(共42页):..直线的方程为,带入,,:,,,:令,得直线为轴,当时,解得,,直线方程为,两直线交点坐标为,,,,(共42页)大海教育在线1对1:..椭圆椭圆的定义、图形及标准方程椭圆的离心率椭圆的性质直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系过定点问题30已知椭圆:过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程.(2)设直线:与椭圆交于、两点,以为对角线作正方形,记直线与轴的交点为,问、两点间距离是否为定值?如果是,求出定值:如果不是,(1).(2)、(1),,.所以椭圆的标准方程为:.(2)设,,,得:.,,.,又直线与轴的交点,(共42页):..、、图形及标准方程椭圆的离心率直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系弦长或面积问题定值问题第42页(共42页)大海教育在线1对1