山东省日照市莒县文心高中2024年高三数学第一学期期末复习检测试题含.pdf

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3、8?45【解题分析】建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得AM,DC的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出AM?DC的表达式,求出其最小值即可.【题目详解】建立直角坐标系如图所示:A??2,0?C?2,0?O?0,0?,M?2,?2?则点,,,D?2cos?,2sin??设点,AM??4,?2?,DC??2?2cos?,?2sin??所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,AM?DC?4??2?2cos?????2????2sin???8?4?sin??2cos???8?45sin?????tan??2,其中,sin????????1,1?因为,:..所以AM?DC的最小值为8?:8?45【题目点拨】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角?的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;?DCy214、x2??14【解题分析】y2设以直线y??2x为渐近线的双曲线的方程为x2???(??0),再由双曲线经过抛物线y2?4x焦点F(1,0),能4求出双曲线方程.【题目详解】y2解:设以直线y??2x为渐近线的双曲线的方程为x2???(??0),4∵双曲线经过抛物线y2?4x焦点F(1,0),∴1??,y2∴双曲线方程为x2??1,4y2故答案为:x2??【题目点拨】本题主要考查双曲线方程的求法,考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用,属于中档题.?1?15、,?????3?【解题分析】转化y?xlog?9x?(x>0)为logy?(logx?1)2?1,【题目详解】由题意:1y?xlog(9x)(x>0)?logy?logx??log9x??logx??2?logx??(logx?1)2?1??1?y?.33333333:..?1?故答案为:,?????3?【题目点拨】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,、2【解题分析】由题意画出图形,设内切圆的圆心为M(x,y),圆M分别切AF,BF,AB于S,T,Q,可得四边形SFTM为正方形,122再由圆的切线的性质结台双曲线的定义,求得?AFB的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式,即可求得双曲线的离2心率.【题目详解】设内切圆的圆心为M(x,y),圆M分别切AF,BF,AB于S,T,Q,连接MS,MT,MQ,12则FT?FS,故四边形SFTM为正方形,边长为圆M的半径,222由|AS|?|AQ|,|BT|?|BQ|,得AF?|AQ|?SF?TF?BF?|BQ|,2222?Q与F重合,1?SF?AF?AF?2a,?MF?2a,即(x?c)2?y2?4a2——①2211MF?22a,?(x?c)2?y2?8a2——②2a2b4联立①②解得:x??,y2?4a2?,cc27又因圆心的纵坐标为a,2:..7a2b4c??4a2??e??:2【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质,考查数形结合思想与运算求解能力,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)存在,长5【解题分析】(1)先证CF?面ABCD,又因为CF?面BCF,所以平面ECF?平面ABCD.(2),设DP??DF,则可得出??BP????1,2??2,3?n??x,y,z?向量,求出平面ABE的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式BP?n3sin??cosBP,n?列方程求出??0或??,?n4【题目详解】解:(1)证明:因为四边形EDCF为矩形,∴DE?CF?3.∵AD2?DE2?AE2∴DE?AD∴DE?CD∴DE?面ABCD∴CF?面ABCD又∵CF?面BCF∴平面ECF?平面ABCD(2)取D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系.??????????如图所示:则A1,0,0,B1,2,0,C?1,2,0,E0,0,3,F?1,2,3,??????设DP??DF???1,2,3???,2?,3?,??0,1;????∴P??,2?,3?,BP????1,2??2,3?,n??x,y,z?,设平面ABE的法向量为:..?????x?2y?3z?0??∴?,不防设n?3,0,1.????2y?03????1??3?BP?n15∴sin??cosBP,n???,22??2BP?n????1???2??2??3??2103化简得8?2?6??0,解得??0或??;4?,BP???1,?2,0?,∴BP?5;当?0时3?7133?当??时,BP???,?,?,∴BP?5;?424?4??综上存在这样的P点,线段BP的长5.【题目点拨】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)14【解题分析】(Ⅰ)连接AC交AC于点O,连接OD,由于AB平面ADC,得出ABOD,根据线线位置关系得出AD?BC,11111利用线面垂直的判定和性质得出AD?BD,结合条件以及面面垂直的判定,即可证出平面ADC?B;1111??(Ⅱ)根据题意,建立空间直角坐标系,利用空间向量法分别求出BA?1,3,0和平面ADC的法向量1??n??3,0,2,利用空间向量线面角公式,【题目详解】解:(Ⅰ)证明:连接AC交AC于点O,连接OD,11则平面ABC平面ADC?OD,11:..AB∥平面ADC,?AB∥OD,111O为AC的中点,∴D为BC的中点,?AD?BC1BD?平面ABC,?AD⊥BD11BC?BD?D,?AD?B,111AD?平面ADC,?平面ADC?B1111(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系D?xyz,设AB?2??????B??1,0,0?A0,3,0B0,0,3C2,0,3则,,,11???????BA?1,3,0,DA?0,3,0,DC?2,0,31????3y?0??x,y,z?设平面的法向量为,则?,1????2x?3z?0??取x??3得n??3,0,2,设直线AB与平面ADC所成角为?1?321?sin??cosBA,n??,2?71457?cos??:..【题目点拨】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值,考查空间想象能力和推理能力.?1??1?11y?F?x?0,,??19、(1)故函数在??上单调递增,在??上单调递减;(2).?a??a?4【解题分析】试题分析:F?x?(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得f?x??tg?x??f?x??tg?x??2?a??11?x?x?2对任意,恒成立,构造函数22111211h?x??f?x??tg?x??lnx?ax2??1?2t?x?3th??x???ax??1?2t??0a???2,?1?x??1,2?,则有对任意,2x恒成立,:113F?x??f?x??ag?x??lnx?ax2??1?a?x?ax??0,???(I)由题意得,,222?ax2??1?a?x?1??ax?1??x?1?1∴F??x???ax?1?a??.xxxF??x??0y?F?x??0,???当a?0时,,函数在上单调递增;11a?0F??x??00?x?F??x??0x?当时,令,解得;令,?1??1?y?F?x?0,,??故函数在??上单调递增,在??上单调递减.?a??a?a?0y?F?x??0,???综上,当时,函数在上单调递增;?1??1?a?0y?F?x?0,,??当时,函数在??上单调递增,在??上单调递减.?a??a?(II)由题意知t?0.:..1?ax2?x?1f??x???ax?1?,xx?2?a??1y?f?x?当时,?x?2y?g?x?不妨设1?,又函数单调递减,12?2?a??11?x?x?2f?x??f?x??t?g?x??g?x??所以原问题等价于:当时,对任意,不等式??恒成立,122112f?x??tg?x??f?x??tg?x??2?a??11?x?x?2即对任意,?x??f?x??tg?x??lnx?ax2??1?2t?x?3t,2h?x??1,2???x???ax??1?2t??0a???2,?1?x??1,2?所以对任意,????a???2,?1?令Ha??xa??1?2t,,x1H?a??H??2??2x??1?2t?0x??0,????1?故2t?1??2x??,?x?max1y?2x??1,2?而在上单调递增,x19y?2x??1,2??1?,解得t?.、(1)??1(2)见解析54【解题分析】(1)设P(x,y),求出PF?PF后由二次函数知识得最小值,从而得a,即得椭圆方程;12(2)设直线l的方程为y?k(x?1),k?0,代入椭圆方程整理,设A(x,y),B(x,y),由韦达定理得1112210k25k2?202yx?x?,xx?N(5,y)A,M,Ny?1,设,利用三点共线,求得,12212200x?34?5k4?5k1然后验证y?y?【题目详解】:..解:(1)设P(x,y),则PF?(?c?x,?y),PF?(c?x,?y),12a2?4所以PF?PF?x2?y2?c2?x2?4?c2,12a2因为a?2,x?[?a,a].所以当x?0时,PF?PF值最小,12所以4?c2?3,解得c?1,(舍负)所以a2?5,x2y2所以椭圆C的方程为??1,54(2)设直线l的方程为y?k(x?1),k?0,1?y?k(x?1),?联立?x2y2,得(4?5k2)x2?10k2x?5k2?20?0.???1,?5410k25k2?20设A(x,y),B(x,y),则x?x?,xx?,1122124?5k2124?5k2设N(5,y),因为A,M,N三点共线,又M(3,0)0?yy2y所以1?0,解得y??x20x?31110k25k2?203k??k??5k而2y2k(x?1)3k(x?x)?kxx?5k4?5k24?5k2所以y?y?1?y?1?k(x?1)?1212??002x?32x?32x?3x?31111直线BN//x轴,即BN?l.【题目点拨】本题考查求椭圆方程,,采取设而不求思想,设A(x,y),B(x,y),1122x?x,xx设直线方程,应用韦达定理,得出,、(1)x=1(2)证明见解析(3)0?k2【解题分析】(1)令g(x)?lnx?x?1,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解;:..lnx?lnxxx(2)转化思想,要证a?xx?x,即证xx(1?21)?xx?x,即证ln(2)?1?1,构造函数进而求证;12112x?x121xx2112k(x?1)(3)不等式(x2?1)lnxk(x?)2对一切正实数x恒成立,(x2?1)lnx?k(x?1)2?(x2?1)[lnx?],设x?1k(x?1)h(x)?lnx?,?1【题目详解】11?x解:(1)令g(x)?lnx?x?1,所以g?(x)??1?,xx当x?(0,1)时,g?(x)?0,g(x)在(0,1)上单调递增;当x?(1,??)时,g?(x)?0,g(x)在(1,??)单调递减;所以g(x)?g?1??0,所以g(x)的零点为x??alnx?x??1?11?xlnx?lnx1?a?xx(1?21)(2)由题意?,,a12x?x?lnx?x??121?22x?2lnx?lnxxx要证a?xx?xx?x,即证xx(1?21)?xx?x,即证ln(2)?1?1,1212112x?x121xx2112x111令t?2?1,则lnt?1?,由(1)知lnxx?1,当且仅当x?1时等号成立,所以ln??1,xttt11即lnt?1?,(3)不等式(x2?1)lnxk(x?)2对一切正实数x恒成立,k(x?1)(x2?1)lnx?k(x?1)2?(x2?1)[lnx?],x?1k(x?1)12kx2?2(1?k)x?1设h(x)?lnx?,h?(x)???,x?1x(x?1)2x(x?1)2记?(x)?x2?2(1?k)?1,△?4(1?k)2?4?4k(k?2),①当△0时,即0?k2时,h?(x)0恒成立,故h(x)?x?1h(x)?h?1??02(x2?1)lnx?k(x?1)2于是当时,,又x?1?0,故,当x?1时,h(x)?h?1??0,又x2?1?0,故(x2?1)lnx?k(x?1)2,又当x?1时,(x2?1)ln?k(x?1)2,因此,当0?k2时,(x2