文科数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析.pdf

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?f?x?故当时,函数与恰有三个交点,故g(x)?|f(x)|?x?m恰有三个零点;1y?x?my?2x?x2(x?(0,1))的切线时,即y??2?2x?1,解得x?,当为2?13?1,y?x?mm??,即切点为??,代入得?24?4y?x?m令当过原点时,m?0,1??m?0时,满足函数y?x?my?f?x?所以由图象可知:当与恰有三个交点,4故g(x)?|f(x)|?x?m恰有三个零点;?1?m(??,?2)??,0综上的取值范围是??.?4??1?故答案为:(??,?2)??,0???4?三、解答题:本小题共6小题,共70分,其中第17题10分,18~22题12分。解答应写出文字说明、,,民生问题是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查者中随机选出200人,并将这200人按年龄分组,第1组[15,25),第2组[25,35),第3组:..[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求a;(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人,并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈,求这两人恰好属于不同组别的概率;(3)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组,年龄在第4,5组的居民称为中老年组,若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人,问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关?附:P?K2?k?(ad?bc)2K2?,n?a?b?c?d.(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)3【答案】(1)a?;(2);(3)没有99%【解析】(1)根据频率分布直方图,由频率分布直方图各小长方形的面积之和为1,即可计算出频率分布直方图中a的值;(2)根据分层抽样的公式计算出第1组和第2组中的人数,列出从这5人中随机抽取2人的所有基本事件及两人恰好属于不同组别的事件并求出相应的种数,再根据古典概型计算公式,即可求出这两人恰好属于不同组别的概率;(3)根据已知可求出200人中不关注民生问题的青少年有30人,然后列出2?2列联表,根据公式求K2,即可得出结论.【详解】(1)?10??10??10?a?10??10?1,解得a?(2)由题意可知从第1组选取的人数为5??2人,设为A,A,???3人,设为B,B,?:?A,A??A,B??A,B??A,B??A,B?,,,,,1211121321?A,B??A,B??B,B??B,B??B,B?,,,,,:..?A,B??A,B??A,B??A,B??A,B??A,B?这两人恰好属于不同组别有,,,,,,??.105(3)选出的200人中,各组的人数分别为:第1组:?10?200?20人,第2组:?10?200?30人,第3组:?10?200?70人,第4组:?10?200?60人,第5组:?10?200?20人,所以青少年组有20?30?70?120人,中老年组有60?20?80人,因为参与调查者中关注此问题的约占80%,即有200?(1?80%)?40人不关心民生问题,?2列联表:关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计**********?(90?10?70?30)2所以K2???,160?40?80?120所以没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,古典概型概率的计算及独立性检验,同时考查基本计算和数据处理能力.???1?a?c??sinA?sinC???a?b?sinB??f?x?①;②2b?osA;③?????,?3?41f?C??,这三个条件中任选一个,?ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,.(1)求角C的大小;(2)若c?2,求AB边上高的最大值.?【答案】(1)C?;(2).33【分析】(1)选①:利用正弦定理角化边,整理可得cosC,根据C的范围可得结果;选②:利用正弦定理边化角,结合三角恒等变换知识可求得cosC,根据C的范围可得结果;:..???1π选③:利用二倍角和辅助角公式化简f?C?,可得sin2C??,根据2C?的范围可最终确定C的取?6?2??6值;1(2)利用余弦定理和基本不等式可求得?ABC面积的最大值,利用S?【详解】(1)选①:由正弦定理得:?a?c??a?c???a?b?b,整理得:a2?b2?c2?ab,a2?b2?c21??cosC??,又C??0,??,?C?.2ab23选②:由正弦定理得:?2sinB?sinA?cosC?osA,即2sinBcosC?sinAcosC?osA?sin?A?C??sin?π?B??sinB,1?B??0,??,?sinB?0,?cosC?,2?又C??0,??,?C?.3???1?13?1选③:f?C??osC???cosC?cosC?sinC???????3?4224??1?cos2C311?31?1???1??sin2C???sin2C?cos2C??sin2C??,????4442222?6?4?????1?sin2C??,???6?2π?π13π?π5π?又C??0,??,?2C??,,?2C??,解得:C?.??6?66?663(2)设AB边上的高为h,由余弦定理得:c2?a2?b2?2abcosC?a2?b2?ab?4,?a2?b2?ab?4?2ab(当且仅当a?b时取等号),?ab?4,13??ABC面积的最大值为?4??3,22123又S?ch,?h??3,即AB边上的高的最大值为.?ABC32maxc【点睛】方法点睛:本题第二问考查解三角形中的最值问题,解题关键是能够将问题转化为三角形面积最大值的求解,求解三角形面积最大值的常用方法是:在余弦定理中,,在几何体BACDEF中,四边形CDEF是菱形,AB//CD,平面ADF?平面CDEF,AD?AF.:..(1)求证:AC?DF;(2)若FA?FC?FD?2,AB?1,求三棱锥A?CDF和三棱锥E?BDF的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)1,1【分析】(1)连接CE,与DF交于点O,连接AO易知CE?DF,AO?DF,由线面垂直的判定定理可得DF?平面AOC,从而可证明AC?DF;(2)由面面垂直的性质可知,AO?平面CDEF,即AO为三棱锥A?CDF的高,结合菱形、等边三角形的性质,可求出S?3,从而可求三棱锥A?CDF的体积;由AB//平面CDEF,可知点B到平面CDEF?CDF的距离也为AO?3,由菱形的性质可知S?S,从而可求出三棱锥E?BDF的体积.?EDF?CDF【详解】(1)证明:如图,连接CE,与DF交于点O,则O为DF的中点,连接AO,由四边形CDEF是菱形可得CE?DF,因为AD?AF,所以AO?DF,因为CE?AO?O,所以DF?平面AOC,因为AC?平面AOC,所以AC?DF.(2)因为平面ADF?平面CDEF,平面ADF?平面CDEF?FD,且AO?DF,所以AO?平面CDEF,即AO为三棱锥A??FC?FD?2,四边形CDEF是菱形,且AD?AF,可得△ADF与?CDF都是边长为2的等边三角形,所以AO?2?sin60??3,311因为?CDF的面积S??22?3,故V?S?AO??3?3?1.?CDF4A?CDF3VFCD3因为AB//CD,CD?平面CDEF,AB?平面CDEF,所以AB//平面CDEF,故点到平面CDEF的距离也为AO?3,由四边形CDEF是菱形得S?SB?EDF?CDF11因此V?V?S?AO??3?3??BDFB?DEF3VEDF3:..【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查了线面垂直的判定,考查了锥体体积的求解,,可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、,注意选择合适的底面和高,:1?ab0?的离心率为,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,当????a2b22直线l与x轴垂直时,AB?3.(1)求椭圆C的标准方程;当直线的斜率为?k?0?时,在轴上是否存在一点(异于点),使轴上任意一点到直线与到(2)lkxPFxPA直线PB的距离相等?若存在,求P点坐标;若不存在,【答案】(1)??143P?4,0?(2)存在,【分析】(1)根据题意列式求解a,b,c,即可得结果;(2)根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴,根据斜率关系结合韦达定理运算求解.【详解】(1)设椭圆C的半焦距为c?0,??a2?b2?c2?a?2??2b2?由题意可得?3,解得b?3,??a??c1??c1?e???a2?x2y2所以椭圆C的标准方程为??(2)由(1)可得:F?1,0?,根据题意可设直线l:y?k?x?1?,A?x,y?,B?x,y?,P?m,0??m?1?,1122?y?k?x?1????联立方程?x2y2,消去y得4k2?3x2?8k2x?4k2?12?0,??1??43??64k2?4?4k2?3??4k2?12??144?k2?1??0则,8k24k2?12可得x?x?,xx?,①124k2?3124k2?3yy由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴,则k?k?1?2?0,PAPBx?mx?m12k?x?1?k?x?1?可得1?2?0,x?mx?m12因为k?0,可得?x?1??x?m???x?m??x?1??0,1212整理得2xx??m?1??x?x??2m?0,②1212:..2?4k212????8k2m?1将①代入②得:??2m?0,解得m?4,4k2?34k2?3所以存在点P,使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等,此时P?4,0?.【点睛】方法点睛:存在性问题求解的思路及策略(1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.(2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,?x???lnx?ax,(1)当a?1时,求f?x?的单调区间;xg?x??f?x??x,x?x?x?x?x?e2(2)若函数有两个零点,证明:.eax121212【答案】(1)单调递增区间为?0,1?,单调递减区间为?1,???(2)证明见解析x【分析】(1)将a?1代入后得f?x???lnx?x,对其求导,利用导数与函数的单调性即可得解;ex?x?22?1??xxlnx?ax,lnx?axx?x?e2变形为ln2?1?(2)由题意得,从而利用分析法将?,构造函数112212xx11?2x12?t?1?h?t??lnt??t?1?,利用导数证得h?t??0,?1xf?x???x?xf?x??0,???【详解】(1)当a?1时,ln,的定义域为,ex1?x1?11?则f??x????1??1?x??,exx?exx???11因为x?0,则ex?1?0,所以??0,exx当0?x?1时,f￠(x)>0,则f?x?单调递增;当x?1时,f??x??0,则f?x?单调递减;所以f?x?的单调递增区间为?0,1?,单调递减区间为?1,???.xg?x??f?x???x?ax有两个零点,则g?x??g?x?(2)若函数ln,eax12:..lnx?lnx即lnx?ax,lnx?ax,两式相减,可得a?21,两式相加得lnx?lnx?a?x?x?,1122x?x1212212要证x?x?e2,只要证lnx?lnx?2,即证a?x?x??2,即证a?,121212x?x12?x?22?12?x?x???lnx?lnx2xx21?lnx?lnx?21ln?1?只须证,即证,即证2?,x?xx?x21x?xxx21121211?2x1x2?t?1?t?20?x?xlnt令,则由得t?1,故须证?,x12t?112?t?1?(t?1)2令h?t??lnt??t?1?,则h??t??,t?1t(t?1)2当时,h??t??0,所以h?t?在?1,???上单调递增,t?12?t?1?所以当t?1时,h?t??h?1??0,即lnt?成立,t?1故原不等式x?x?【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.?x?2?cos?,?x中,曲线C的参数方程为?(为参数).以坐标原点为极点,轴y?2?sin??π的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为??(??R).3(1)求曲线C的极坐标方程;11(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求?.O