辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三第一次摸底考试数学试题.pdf

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n(r?2)?(r2?2)?????(rn?2)2r?r2?????rn2所以?,所以?2?,nrnrr(1?rn)22n(1?r)2所以?2?,所以r(1?rn)?,n(1?r)rr因为r?(0,1),所以r?r(1?rn),2n(1?r)21?r?2所以r?,所以n???,这与?n?N*相矛盾,r2?1?r?q所以命题为假命题,故选:【分析】构造函数f?t??lnt?1??t?1?,利用导数可得f?t?在上单调递增,再由t?1tf?t??f?1?可判断A;举反例可判断B;当?是第三象限角时由sin??0,cos??0可判断C;答案第6页,共20页:..πcos?sin??ππ?1???y?logx?x?0??sin??log???cos??log????当时利用为单调递增函数,对??3??43??11【详解】对于A,令t?1??t?1?,则x=,即证lnt??1??t?1?,xt-1tt111t?1令f?t??lnt?1??t?1?,则f??t?????0,ttt2t2所以f?t?在t?1上单调递增,故f?t??f?1??ln1?1?1?0,t?11?1?1所以lnt??1??t?1?,即ln1??(x?0),故A正确;??tt?x?x?111对于B,当x=?1时?显然不成立,故B错误;ex1?x11对于C,当?是第三象限角时,则sin??0,cos??0,所以?0,?0,sin?cos?11可得??0,故C错误;sin?cos?π对于D,当1???时,y?logx?x?0?为单调递增函数,3?cos?sin??ππ??ππ??sin??log???cos??log????logsin?logcos??logcos?logsin????若??,则??,?43??????43??ππ?这与logsin?logcos??logcos?logsin????矛盾,故D错误.???????43?故选:A.【点睛】关键点点睛:对于A选项,关键点是构造函数,再利用函数的单调性解题,考查了学生的思维能力、【分析】根据直二面角的性质,得到垂直关系,建立空间直角坐标系,利用三角形内角平分线的性质、平面向量加法的几何意义、空间两点距离公式、夹角公式,球的性质逐一判断即可.【详解】如图所示:过点A?作A?H?BD,交于BD延长线于点H,过点CM?BD交于BD于点M,作NH////MH,?MH?N,由二面角A??BD?C为直二面角,可知CM?A?H,π设?ABD??,则有?A?BD??,?CBD???,AB?A?B?2,BC?1,2在直角三角形A?BH中,A?H?2sin?,BH?2cos?,在直角三角形BCM中,答案第7页,共20页:..?π??π?BM?cos?????sin?,CM?sin?????cos?,?2??2?A?C?A?H2?MH2?CM2?4sin2??4cos2??4sin?cos??sin2??cos2?ππ?5?2sin2??5?2?3,当且仅当2?????,24222此时,A?H?2,BH?2,BM?,CM?,MH?,222π在图1中,??,所以BD为?ABC的平分线,4ABAD225于是有??2,所以AD?A?D??22?12?,BCDC33202DH?A?D2?A?H2??2?,93由上可知:HA?,HB,HN两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,?????22??2?A?0,0,2,B2,0,0,C?,,0?,D?,0,0?,?22??3?????????????????????????????????????????????22??12因为BD?BA?AD?BA?AC?BA?AB?BC?BA?BC,3333所以选项A正确;??2222因为BD???2??,?3?3??所以选项B正确;?????????2??22?DA????,0,2?,BC???,,0?,?3??22??????????????2??2????????????????DA??BC32????5cos?DA?,BC????????????因为,DA??BC22210?2???2?2??2?????2???????322??????5所以直线DA?与BC的夹角余弦值为,因此选项C不正确;10设四面体A?BCD的外接球的球心为O?x,y,z?,显然有OA??OB,OB?OC,OC?OD,??2??2??所以有x2?y2?z?2?x?2?y2?z21,答案第8页,共20页:..??2??2??222x?2?y2?z2?x??y??z2?2?,????????????????22????222?2??2??2??x????y???z2??x???y2?z2(3),?2??2??3????????22?x?3?????2由?1??2??3?,解得y?,?6??22?z??3???282242四面体A?BCD的外接球的半径为x2?y2?z?2????,93696??24214π四面体A?BCD的外接球的表面积为4π????,?6?3??因此选项D正确,故选:ABD【点睛】关键点睛:根据二面角的性质建立空间直角坐标系,【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值.【详解】(1+tan15°)(1+tan30°)=1?tan15??tan30??tan15?tan30°1?tan45??1?tan15?tan30???tan15?tan30?==2故答案为2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用,.?,?答案第9页,共20页:..【分析】【详解】log2024?log?4?506??1?log506?1?log506?1?log506,4442221?lg22lg5log20?log506?log25??log506?222lg22lg21?lg22?1?lg2???log506???log506?,?log2024?,4故答案为:?,?15.?6480【分析】(x?2y?3z)6???x?2y??3z?6,然后两次利用通项公式求解即可;??(x2y?3z)6???x?2y??3z?6【详解】因为???,设其展开式的通项公式为:T?Cr(x?2y)6?r???3z?r?Cr(x?2y)6?r???3?r?zr,0?r?6,r?N,r?166令r?3,得(x?2y)3的通项公式为Cmx3?m??2y?m?Cm?2mx3?m?ym,0?m?3,m?N,33令m?2,所以(x?2y?3z)6的展开式中,xy3z2的系数为C3???3?3?C2?22??6480,63故答案为:?【分析】根据三点共线的性质,结合点到椭圆上、直线的斜率公式进行求解即可.【详解】设A?x,y?,B?x,y?,Q?x,y?,112233因为延长OA至M,使得OM?3OA,所以M?3x,3y?,11答案第10页,共20页:..BM?????????设??,因为Q为MB与椭圆C的交点,所以设BM??BQ,BQ因此有?3x?x,3y?y????x?x,y?x?,12123233?3??1x?x?x????3x?x???x?x?????312??即?1232??,3y?y???y?x?3??1?????1233y?y?y????3?1?2因为Q在椭圆上,?3??1?2?3??1?2?x?x??y?y?所以??1?2???1?2?,??1439?x2y2???12?x2y2?6???1?xxyy????化简,得?1?1?????2?2???12?12??1,?243???43?2?43?????x2y2x2y2x2y2因为A,B在椭圆C:??1上运动,所以1?1?1,2?2?1,4343433yy3xxyy因为k?k??,所以1?2???12?12?0,OAOB4xx443129??12BM??5于是有??1???5,即?,??BQ?2???故答案为:5.【点睛】关键点睛:利用三点共线的性质得到Q的坐标,根据点在椭圆上的性质,结合代入法进行求解是解题的关键.?3???17.(1)??2k?,?2k?,k?Z;?44?????(2)22,???π?【分析】(1)当a?0时,得到f?x??2sinx?,结合三角函数的性质,即可求解;???4??π??t2?12x??0,π?t?sinx?cosx?2sinx???1,2?sinxcosx()当时,令???,则?,得?4?2aa出函数g?t???t2?t?,根据二次函数的性质,三种情况讨论,?π?【详解】(1)解:当a?0时,函数f?x??sinx?cosx?2sinx?,???4?πππ3π由??2kπ?x???2kπ,k?Z,可得?π?2kπ?x??2kπ,k?Z,24244答案第11页,共20页:..?3???故函数f?x?的单调递增区间为??2k?,?2k?,k?Z.?44???π?π5π?(2)解:当x??0,π?时,可得x??,,??4?44??π??t2?1令t?sinx?cosx?2sinx???1,2?,则sinxcosx?,????4?2t2?1aa令g?t??t?a???t2?t?,其图象恒过(?1,?1)和?1,1?两点,222?π?3π①当a?0时,由(1)知f?x??sinx?cosx?2sinx??0有唯一根x?,???4?04不合题意;0g?t?2,方程g?t??0t?t②当a<时,可得的图象开口向上,??1?a?0存在两根,12???且t?t??1,此时有t????,?1?(舍),故t??0,1?,则方程t?2sinx?只有一个根,12122???4?不合题意;g?t?2g?t??0t?t③当a?0时,可得的图象开口向下,??1?a?0,方程存在两根,且12t?t??1,12???2?若要满足题意,则t?1,2,t???1,??,21?2????π??π?此时方程t?2sin?x??有一个根,t?2sin?x??有两个不相等的根,1?4?2?4???则有g2?0,解得a?22,??综上所述,a的取值范围为22,??.【点睛】方法点睛:利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略:1、利用函数的图象研究方程的根的个数:当方程与基本性质有关时,可以通过函数图象来f?x??0f?x?xf?x??g?x?研究方程的根,方程的根就是函数与轴的交点的横坐标,方程的根据就是函数f?x?和g?x?图象的交点的横坐标;答案第12页,共20页:..2、利用函数研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,、本题中合理利用三角函数的基本关系,进行换元构造二次函数,.(1)证明见解析;1(2)?8【分析】(1)通过证明AB?平面AOC,即得AB?OC,从而得到CA?(2)根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值.【详解】(1)如图所示:作AB中点O,连接OC,OA,1QAA?AB,?BAA?60?,11??ABA是等边三角形,?AB?OA11又QCA?4,AB?23,CB?27,1111满足CA2?AB2?CB2,即有AB?AC,1111111而AB∥AB,所以AB?AC,111OAIAC?A,OA,AC?平面AOC,111111?AB?平面AOC,1而OC?平面AOC,1所以AB?OC,又因为O是AB中点,所以CA?,共20页:..(2)若CA?4,则22,易知OA?3,OC?4?3?131以点O为原点,分别以OA,OA方向为x,y轴,以过点O竖直向上的直线为z轴建立空间直角1坐标系,如图所示:过点C作CD^OA,垂足为D,113?9?1613在△AOC中,cos?COA??,112?13?31313所以OD?13??1,CD?23,13则A(3,0,0),C(0,1,23),A(0,3,0),C(?3,4,23),B(?23,3,0)111uuuruuuruuuurCA?(0,2,?23),CB?(?23,2,?23),CC?(?3,3,0),111??设平面CBA的法向量为m?(x,y,z),11111?????????m?CB?0?????23x?2y?23z?0?????1111则有?,即?,????m?CA?0?2y?23z?01?11??令y?3,则z?1,x?0,所以m?(0,3,1),111r同理可得:平面CBC的法向量n?(3,3,?2),11urrurrm?n3?21cosm,n?urr??.则m?n4?1681因为所求二面角为钝角,所以二面角A?CB?C的余弦值为?.111819.(1)证明见解析(2)证明见解析答案第14页,共20页:..【分析】(1)将数列的递推公式变形,再结合等比数列的定义,即可证明;(2)由(1)得到数列?b?的通项公式,再利用变形,放缩法,结合裂项相消法求和,【详解】(1)由a?a?,得a?1??a?1?,由a?,得a?,n?14n4n?14n216141a?11则a?1??0,所以a?1?0,得n?1?,14na?14n11所以数列?a?1?是以为首项,为公比的等比数列n44111(2)由(1)得a?1?,则a??1,所以b?2n?1?a?3?2n?1??