专题04 平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题（解析版）.docx

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【解析】选ACD 若小球能通过最高点,则由mg=m,可求得小球通过最高点的最小速度vmin==2m/s,由机械能守恒定律,有:mg·2r+mvmin2=mv02,解得v0=2m/s;若不通过四分之一圆周,根据机械能守恒定律有:mgr=mv02,得出v0=2m/s,所以v0≥2m/s或v0≤2m/s均符合要求,故A、C、D正确,B错误。,竖直环A半径为r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左右运动,在环的最低点静放有一小球C,A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力),则瞬时速度v必须满足( ) 【解析】选D 要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足mg=m,对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒得mvmin2=mg·2r+mv02,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为,A、C错误;为了不使环在竖直方向上跳起,则在最高点球有最大速度时,对环的压力为2mg,满足3mg=m,从最低点到最高点由机械能守恒得mvmax2=mg·2r+mv12,可得小球在最低点瞬时速度的最大值为,B错误,D正确。,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求:(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰好离开竖直杆;原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。【解析】(1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α,由题意可知sinα=,r=水平方向:Fasinα=mω2r竖直方向:Facosα=mg联立解得ω=2。(2)由(1)可知0≤ω≤2时,Fa=mg;若角速度ω再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b恰伸直前,设轻绳a与竖直杆的夹角为β,此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ水平方向:Fasinβ=mω2r竖直方向:Facosβ=mg联立解得Fa=mω2l由几何关系知,当轻绳b恰伸直时,β=60°,解得此时ω=。故有Fa=mω2l,此时2<ω≤;若角速度ω再增大,轻绳b伸直后,小球做圆周运动的半径为r=lsin60°水平方向:Fasin60°+Fbsin60°=mω2r竖直方向:Facos60°=Fbcos60°+mg联立解得Fa=mlω2+mg,此时ω>。答案:(1)2 (2)见解析平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题[例3] (2020·长沙校级月考)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示,赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动距离L后,由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点,并能越过壕沟。已知赛车质量m=,通电后以额定功率P=,,随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L=,R=,h=,s=。问:要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间?(g=10m/s2)原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!【解析】设赛车恰好通过圆轨道最高点的速度大小为v1,在最低点的速度大小为v2,根据牛顿第二定律和动能定理得mg=,①-mg·2R=mv12-mv22, ②综合①②解得v2=3m/s。设赛车越过壕沟需要的最小速度为v3,由平抛运动规律得s=v3t, ③h=gt2, ④综合③④解得v3=5m/s。综上分析,欲使赛车完成比赛,在进入竖直圆轨道前的最小速度应该是v3=5m/s。设电动机工作时间至少为t′,根据动能定理有Pt′-fL=mv32,代入数据解得t′=。【答案】[方法规律] 平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题本质上是多过程运动问题,通常求解分三步:[集训冲关]如图甲所示,,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)轨道,分别与上、下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L=。下圆弧轨道与水平轨道相切,其中D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点,整个轨道固定在竖直平面内。,不计小球运动中的一切阻力,g取10m/s2。求:原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!(1)如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出,求落地点与D点的水平距离;(2)如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出,求小球经过圆弧A点时对轨道的压力;(3)如果在D点右侧平滑连接一半径R′=,如图乙所示,要使小球不脱离轨道运动,求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围(计算结果可用根式表示)。【解析】(1)小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动,由平抛运动规律可得h=gt2由题意得h=2R+L=2×+=,代入数据解得t==v0t=5×=2m。(2)小球由A到D的过程,由机械能守恒定律可得mgh+mvD2=mvA2在A点,由牛顿第二定律可得N-mg=m联立解得N=44N,由牛顿第三定律可得,小球经过圆弧A点时对轨道的压力N′=N=44N。(3)讨论一:小球进入轨道后最高运动到C点,之后原路返回,由机械能守恒定律,有mg(R+L)=mv12解得v1=m/s。讨论二:小球进入轨道后恰好能通过最高点D,之后沿DEF运动而不脱离轨道,在D点有mg=m从A到D,由机械能守恒定律可得mgh+mv2=mv22解得v2=2m/s故要使小球在运动过程中不脱离轨道,初速度大小的范围为v1≤m/s或v2≥2m/s答案:(1)2m (2)44N (3)v1≤m/s或v2≥2m/s[提能增分集训]1.[多选](2020·佛山调研)如图所示,两个半径均为R的光滑圆弧对接于O点,有物体从上面圆弧上的某点C以上任意位置由静止下滑(C点未标出),都能从O点平抛出去,则( )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!A.∠CO1O=60° B.∠CO1O=45° 【解析】选AC 要使物体从O点平抛出去,在O点有mg≤,解得物体从O点平抛出去的最小速度vmin=。设∠CO1O=θ,由机械能守恒定律得,mgR(1-cosθ)=mvmin2,解得∠CO1O=θ=60°,选项A正确,B错误;由平抛运动规律,有R=gt2,xmin=vmint,解得落地点距O2最近为xmin=R,选项D错误;若物体从A点由静止下滑,到达O点时速度最大为vmax=,由平抛运动规律,有R=gt2,xmax=vmaxt,解得落地点距O2最远为xmax=2R,选项C正确。2.[多选](2020·桂林模拟)如图所示,两个竖直光滑圆弧轨道固定在同一水平地面上,左侧轨道由金属凹槽制成,半径为2R,右侧轨道由金属圆管制成,半径为R,在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放,小球释放处距离地面的高度分别为hA和hB,则下列说法正确的是( ),可使小球A从轨道最高点飞出后,,可使小球B从轨道最高点飞出后,,,释放的最小高度为【解析】选BC 小球A通过圆弧轨道最高点具有最小速度时,重力完全提供向心力,即mg=m,解得v=,小球A飞出后,做平抛运动,2R=gt2,x=vt,解得x=2R>2R,因此无论怎么调整hA,小球A都不可能落在轨道的右端口处,A项错误;小球A以最小速度通过轨道最高点时,hA具有最小值,由动能定理可知,mg(hA-4R)=mv2-0,解得最小高度hA=5R,C项正确;小球B通过圆管轨道最高点的最小速度为零,因此可以适当调整hB,使小球B从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处,B项正确;由机械能守恒定律可知,hB的最小高度为2R,D项错误。,一个四分之三圆弧形光滑细圆管轨道ABC放置在竖直平面内,轨道半径为R,在A点与水平桌面AD相接,桌面与圆心O等高。MN是放在水平桌面上长为3R、厚度不计的垫子,左端M正好位于A原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!点。将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某点由静止释放,不考虑空气阻力。欲使小球能通过C点落到垫子上,求小球离A点的高度的范围。【解析】小球通过C点后做平抛运动,假设恰好落在M端,水平方向:R=v1t1①竖直方向:R=gt12 ②对小球从静止释放到最高点(C点)过程应用动能定理有mg(h1-R)=mv12③综合①②③式解得h1=R。假设小球通过C点恰好落在N端,水平方向:4R=v2t2④竖直方向:R=gt22 ⑤对小球从静止释放到最高点(C点)过程应用动能定理有mg(h2-R)=mv22 ⑥综合④⑤⑥式解得h2=5R。欲使小球通过C点落在垫子MN上,小球下落的高度范围为R≤h≤5R。答案:R≤h≤5R4.(2020·洛阳统考)某物理兴趣小组制作了一个游戏装置,其简化模型如图所示,选手在A点用一弹射装置可将小滑块以水平速度弹射出去,沿水平直轨道运动到B点后,进入半径R=,运行一周后自B点向C点运动,C点右侧有一陷阱,C、D两点的竖直高度差h=,水平距离s=,水平轨道AB长为L1=1m,BC长为L2=,小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=,重力加速度g=10m/s2。(1)若小滑块恰能通过圆形轨道的最高点,求小滑块在A点被弹射出时的速度大小;(2)若游戏规则为小滑块沿着圆形轨道运行一周后只要不掉进陷阱即为选手获胜。求获胜选手在A点将小滑块弹射出的速度大小的范围。