有限群子群的正规性及其对偶的综述报告.docx

该【有限群子群的正规性及其对偶的综述报告 】是由【niuww】上传分享，文档一共【2】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【有限群子群的正规性及其对偶的综述报告 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。有限群子群的正规性及其对偶的综述报告有限群的子群是研究有限群性质的重要工具,在研究群的结构和性质时,子群的性质和作用是不可忽略的。而子群中的正规子群更是具有一些特殊的性质和作用,本文将综述有限群子群的正规性及其对偶。一、正规子群的定义对于一个群G,如果一个子群H满足对于G中的任意元素g,都有gH=Hg,则称H是G的一个正规子群。其中gH={gh|h∈H},Hg={hg|h∈H}。二、①只有满足Hg?gH的子群H才能是G的正规子群②如果H是G的正规子群,且K是H的子群,则K也是G的子群,并且K也是G的正规子群③如果H是G的正规子群,则G/H也是群,并且对于任意的g∈G和h∈H,有ghg^(-1)∈H。其中Hg和gH不一定相等,但如果H是有限群G的正规子群,则Hg和gH等价。①如果H是G的正规子群,则对于任意的g∈G,有gHg^(-1)也是G的子群,并且gHg^(-1)?H。②如果N是有限群G的子群,并且满足对于任意的n∈N和g∈G,都有gng^(-1)∈N,则N是G的正规子群。③假设H是有限群G的一个子群,且对于任意的g∈G,都有|gHg^(-1)|=|H|,则H是G的正规子群。三、。如果H是群G的正规子群,则商群G/H可以定义为由左陪集gH所组成的集合,即G/H={gH|g∈G}。商群是一种新的群结构,其中的元素是陪集,群运算为(aH)(bH)=abH。。正规子群在表示论中占有重要地位,它们可以帮助我们探究群的不同表示之间的关系。四、正规子群的对偶考虑正规子群的对偶问题,即固定一个子群H,找出所有的群G,满足H是G的正规子群。这就引出了H的共轭子群。,gHg^(-1)={ghg^(-1)|h∈H}称为H在G中的共轭子群,记为H^g。①对于任意的g∈G,都有H?H^g。②如果H是G的正规子群,则对于任意的g∈G,都有H^g=H。③如果H是群G的子群,则H的共轭子群H^g也是一个子群。共轭子群在有限群的理论中有着重要的作用,它们与Sylow子群和p-不变子群密切相关。例如,在一些p-群中,任意两个Sylow子群都是共轭的。总之,有限群中正规子群具有一些基本性质和广泛的应用。正规子群的对偶——共轭子群,也是理解有限群结构和性质的重要工具。