2024年江苏省高考数学试卷真题+参考答案+详细解析.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2020年江苏省高考数学试卷一、填空题:本题共14小题,每小题5分,.(5分)已知集合A?{?1,0,1,2},B?{0,2,3},则AB?.2.(5分)已知i是虚数单位,则复数z?(1?i)(2?i).(5分)已知一组数据4,2a,3?a,5,6的平均数为4,.(5分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,.(5分)如图是一个算法流程图,若输出y的值为?2,.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线??1(a?0)的一条渐近线方程为y?x,.(5分)已知y?f(x)是奇函数,当x0时,f(x)?x3,则f(?8)的值是.?28.(5分)已知sin2(??)?,则sin2?.(5分)如图,,高为2cm,,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.??10.(5分)将函数y?3sin(2x?)的图象向右平移个单位长度,+参考答案+详细解析第1页(共24页):..11.(5分)设{a}是公差为d的等差数列,{b}{a?b}的前n项和nnnnS?n2?n?2n?1(n?N*),则d?.(5分)已知5x2y2?y4?1(x,y?R),则x2?.(5分)在?ABC中,AB?4,AC?3,?BAC?90?,D在边BC上,延长AD到P,使得AP??mPB?(?m)PC(m为常数),.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P(,0),A,B是圆C:x2?(y?)2?36上的两个动点,满22足PA?PB,则?、解答题:本大题共6小题,,解答时应写出文字说明、.(14分)在三棱柱ABC?ABC中,AB?AC,BC?平面ABC,E,F分别是AC,(1)求证:EF//平面ABC;11(2)求证:平面ABC?+参考答案+详细解析第2页(共24页):..16.(14分)在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、?3,c?2,B?45?.(1)求sinC的值;4(2)在边BC上取一点D,使得cos?ADC??,求tan?+参考答案+详细解析第3页(共24页):..17.(14分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO?为铅垂线(O?在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h(米)11与D到OO?的距离a(米)之间满足关系式h?a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h(米)与F14021到OO?的距离b(米)之间满足关系式h??b3??(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端3点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k?0),问O?E为多少米时,桥墩CD与2EF的总造价最低?2020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第4页(共24页):..x2y218.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:??1的左、右焦点分别为F、F,点A在椭圆4312E上且在第一象限内,AF?FF,(1)求△AFF的周长;12(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP?QP的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记?OAB与?MAB的面积分别为S,S,若S?3S,+参考答案+详细解析第5页(共24页):..19.(16分)已知关于x的函数y?f(x),y?g(x)与h(x)?kx?b(k,b?R)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x).(1)若f(x)?x2?2x,g(x)??x2?2x,D?(??,??),求h(x)的表达式;(2)若f(x)?x2?x?1,g(x)?klnx,h(x)?kx?k,D?(0,??),求k的取值范围;(3)若f(x)?x4?2x2,g(x)?4x2?8,h(x)?4(t3?t)x?3t4?2t2(0?|t|2),D?[m,n]?[?2,2],求证:n?+参考答案+详细解析第6页(共24页):..20.(16分)已知数列{a}(n?N*)的首项a?1,?和k为常数,若对一切正整数n,均n1n111有Sk?Sk??ak成立,则称此数列为“??k”?1nn?1(1)若等差数列{a}是“??1”数列,求?的值;n3(2)若数列{a}是“?2”数列,且a?0,求数列{a}的通项公式;n3nn(3)对于给定的?,是否存在三个不同的数列{a}为“??3”数列,且a0?若存在,求出?的取值范nn围;若不存在,+参考答案+详细解析第7页(共24页):..【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,,、.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)?a1?21.(10分)平面上的点A(2,?1)在矩阵M???对应的变换作用下得到点B(3,?4).??1b?(1)求实数a,b的值;(2)求矩阵M的逆矩阵M?.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)??22.(10分)在极坐标系中,已知A(?,)在直线l:?cos??2上,点B(?,)在圆C:??4sin?上(其中1326?0,0??2?).(1)求?,?的值;12(2).[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)?R,解不等式2|x?1|?|x|?+参考答案+详细解析第8页(共24页):..【必做题】第24题、第25题,每题10分,,解答时应写出文字说明、.(10分)在三棱锥A?BCD中,已知CB?CD?5,BD?2,O为BD的中点,AO?平面BCD,AO?2,E为AC中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;1(2)若点F在BC上,满足BF?BC,设二面角F?DE?C的大小为?,求sin?.(10分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X,恰有2个黑球的概率为p,(1)求p,q和p,q;1122(2)求2p?q与2p?q的递推关系式和X的数学期望E(X)(用n表示).nnn?1n?1nn2020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第9页(共24页):..2020年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本题共14小题,每小题5分,.(5分)已知集合A?{?1,0,1,2},B?{0,2,3},则AB?{0,2}.【解析】集合B?{0,2,3},A?{?1,0,1,2},则AB?{0,2},故答案为:{0,2}.【评注】本题考查集合的交集运算,考查运算能力,.(5分)已知i是虚数单位,则复数z?(1?i)(2?i)的实部是3.【解析】复数z?(1?i)(2?i)?3?i,所以复数z?(1?i)(2?i)的实部是::3.【评注】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用,.(5分)已知一组数据4,2a,3?a,5,6的平均数为4,则a的值是2.【解析】一组数据4,2a,3?a,5,6的平均数为4,则4?2a?(3?a)?5?6?4?5,解得a?:2.【评注】本题考查平均数的定义的运用,考查方程思想和运算能力,.(5分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,【解析】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,可得基本事件的总数为6?6?36种,而点数和为5的411事件为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,则点数和为5的概率为P??.故答案为:.3699【评注】本题考查古典概率的求法,考查运算能力,.(5分)如图是一个算法流程图,若输出y的值为?2,则输入x的值是?3.?2x,x?0【解析】由题意可得程序框图表达式为分段函数y??,?x?1,x0若输出y值为?2时,由于2x?0,所以解x?1??2,即x??3,故答案为:?3,2020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第10页(共24页):..【评注】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线??1(a?0)的一条渐近线方程为y?x,【解析】双曲线??1(a?0)的一条渐近线方程为y?x,可得?,所以a?2,a252a2c4?533所以双曲线的离心率为:e???,故答案为:.a222【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用,.(5分)已知y?f(x)是奇函数,当x0时,f(x)?x3,则f(?8)的值是?【解析】y?f(x)是奇函数,可得f(?x)??f(x),当x0时,f(x)?x3,可得f(8)?83?4,则f(?8)??f(8)??4,故答案为:?4.【评注】本题考查函数的奇偶性的定义和运用:求函数值,考查转化思想和运算能力,属于基础题.?218.(5分)已知sin2(??)?,则sin2??1?cos(?2?)?2?21?sin2?21【解析】因为sin2(??)?,则sin2(??)???,解得sin2??,43422331故答案为:3【评注】本题考查了二倍角公式,.(5分)如图,?2cm,高为2cm,,则此六角螺帽毛坯的体积是123??【解析】六棱柱的体积为:6??2?2?sin60??2?123,圆柱的体积为:??()2?2?,22??所以此六角螺帽毛坯的体积是:(123?)cm3,故答案为:123?.22【评注】本题考查柱体体积公式,考查了推理能力与计算能力,属于基本知识的考查.??10.(5分)将函数y?3sin(2x?)的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴462020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第11页(共24页):..5?的方程是x??.24??【解析】因为函数y?3sin(2x?)的图象向右平移个单位长度可得46??????g(x)?f(x?)?3sin(2x??)?3sin(2x?),则y?g(x)的对称轴为2x???k?,k?Z,634121227?k?7?5?即x??,k?Z,当k?0时,x?,当k??1时,x??,24224245?5?所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x??,故答案为:x??,2424【评注】本题考查三角函数的平移变换,对称轴方程,.(5分)设{a}是公差为d的等差数列,{b}{a?b}的前n项和nnnnS?n2?n?2n?1(n?N*),则d?【解析】因为{a?b}的前n项和S?n2?n?2n?1(n?N*),nnn因为{a}是公差为d的等差数列,设首项为a;{b}是公比为q的等比数列,设首项为b,n1n1n[a?a?(n?1)d]dd所以{a}的通项公式a?a?(n?1)d,所以其前n项和S?11?n2?(a?)n,nn1an2212当{b}中,当公比q?1时,其前n项和S?nb,nbn1dd所以{a?b}的前n项和S?S?S?n2?(a?)n?nb?n2?n?2n?1(n?N*),显然没有出现2n,所nnnanbn2121以q?1,b(qn?1)bqnb则{b}的前n项和为S?1?1?1,nbnq?1q?1q?1ddbqnb所以S?S?S?n2?(a?)n?1?1?n2?n?2n?1(n?N*),nanbn212q?1q?1?d?1?2??d?a???1由两边对应项相等可得:?12解得:d?2,a?0,q?2,b?1,所以d?q?4,故答案为:411?q?2??b1?1?q?1?【评注】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n项和求通项的性质,.(5分)已知5x2y2?y4?1(x,y?R),则x2?+参考答案+详细解析第12页(共24页):..1?y4【解析】法一:由5x2y2?y4?1,可得x2?,由x20,可得y2?(0,1],5y21?y41?4y41111413则x2?y2??y2??(4y2?)?24y2??,当且仅当y2?,x2?,5y25y25y25y252104可得x2?y2的最小值为;55x2?y2?4y2254法二:4?(5x2?y2)?4y2()2?(x2?y2)2,故x2?y2,当且仅当5x2?y2?4y2?2,即2451344y2?,x2?时取得等号,可得x2?:.21055【评注】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查转化思想和化简运算能力,.(5分)在?ABC中,AB?4,AC?3,?BAC?90?,D在边BC上,延长AD到P,使得AP??mPB?(?m)PC(m为常数),【解析】如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),33C(0,3),由PA?mPB?(?m)PC,得PA?m(PA?AB)?(?m)(PA?AC),22整理得:PA??2mAB?(2m?3)AC??2m(4,0)?(2m?3)(0,3)?(?8m,6m?9).27由AP?9,得64m2?(6m?9)2?81,解得m?或m??0时,PA?(0,?9),此时C与D重合,|CD|?0;279?6mxy当m?时,直线PA的方程为y?x,直线BC的方程为??1,258m4387221联立两直线方程可得x?m,y?3?(,),325257221181818?|CD|?()2?(?3)2?.?:+参考答案+详细解析第13页(共24页):..【评注】本题考查向量的概念与向量的模,考查运算求解能力,利用坐标法求解是关键,.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P(,0),A,B是圆C:x2?(y?)2?36上的两个动点,满22足PA?PB,则?【解析】圆C:x2?(y?)2?36的圆心C(0,),半径为6,如图,22作PC所在直径EF,交AB于点D,因为PA?PB,CA?CB?R?6,所以PC?AB,EF为垂径,要使面积S最大,则P,D位于C的两?PAB13侧,并设CD?x,可得PC???1,故PD?1?x,AB?2BD?236?x2,441S?|AB|?|PD|?(1?x)36?x2,0?x?6,?PAB2?法一:可令x?6cos?,S?(1?6cos?)?6sin??6sin??18sin2?,0??,?PAB2?设函数f(?)?6sin??18sin2?,0??,f?(?)?6cos??36cos2??6(12cos2??cos??6),223由f?(?)?6(12cos2??cos??6)?0,解得cos??(cos????0舍去),3422显然,当0cos??,f?(?)?0,f(?)递减;当?cos??1时,f?(?)?0,f(?)递增,33?25结合cos?在(0,)递减,故cos??时,f(?)最大,此时sin??1?cos2??,233552故f(?)?6??36???105,则?:S?|AB|?|PD|?(1?x)36?x2,0?x?6,设u?(x?1)2(36?x2),0?x?6,可得?PAB2u???2(x?1)(2x?9)(x?4),当4?x?6时,u??0,函数u递减;当0?x?4时,u??0,函数u递增,所以函数u在x?4处取得最大值500,即有?:105.【评注】本题考查圆的方程和运用,以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用,考查换元法和导数的运用:求单调性和最值,、解答题:本大题共6小题,,解答时应写出文字说明、证明过2020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第14页(共24页):...(14分)在三棱柱ABC?ABC中,AB?AC,BC?平面ABC,E,F分别是AC,(1)求证:EF//平面ABC;11(2)求证:平面ABC?【解析】证明:(1)E,F分别是AC,//AB,因为EF??平面ABC,AB?平面ABC,1111111所以EF//平面ABC;11(2)因为BC?平面ABC,AB?平面ABC,所以BC?AB,又因为AB?AC,ACBC?C,AC?平111面ABC,BC?平面ABC,所以AB?平面ABC,因为AB?平面ABB,所以平面ABC?【评注】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用,直线与平面平行的判断定理的应用,.(14分)在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、?3,c?2,B?45?.(1)求sinC的值;4(2)在边BC上取一点D,使得cos?ADC??,求tan?【解析】(1)因为a?3,c?2,B?45?.,由余弦定理可得:2b?a2?c2?osB?9?2?2?3?2??5,22020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第15页(共24页):..cbc2255由正弦定理可得?,所以sinC?sin45???,所以sinC?;sinCsinBb525543(2)因为cos?ADC??,所以sin?ADC?1?cos2?ADC?,5525在三角形ADC中,易知C为锐角,由(1)可得cosC?1?sin2C?,525所以在三角形ADC中,sin?DAC?sin(?ADC??C)?sin?os?C?cos?ADCsin?C?,25?115sin?DAC2因为?DAC?(0,),所以cos?DAC?1?sin2?DAC?,所以tan?DAC??.225cos?DAC11【评注】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用,及两角和的正弦公式的应用,.(14分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO?为铅垂线(O?在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h(米)11与D到OO?的距离a(米)之间满足关系式h?a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h(米)与F14021到OO?的距离b(米)之间满足关系式h??b3??(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端3点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k?0),问O?E为多少米时,桥墩CD与2EF的总造价最低?11【解析】(1)h??b3?6b,点B到OO?的距离为40米,可令b?40,可得h???403?6?40?160,280028002020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第16页(共24页):..1即为|O?O|?160,由题意可设h?160,由a2?160,解得a?80,则|AB|?80?40?120米;140?0?x?40(2)可设O?E?x,则CO??80?x,由?,可得0?x?40,?0?80?x?80311k总造价为y?k[160?(80?x)2]?k[160?(6x?x3)]?(x3?30x2?160?800),240800800k3ky??(3x2?60x)?x(x?20),由k?0,当0?x?20时,y??0,函数y递减;800800当20?x?40时,y??0,函数y递增,所以当x?20时,y取得最小值,:(1)桥|AB|长为120米;(2)O?E为20米时,桥墩CD与EF的总造价最低.【评注】本题考查函数在实际问题中的应用,考查导数的应用:求最值,考查运算能力和分析问题与解决问题的能力,.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:??1的左、右焦点分别为F、F,点A在椭圆4312E上且在第一象限内,AF?FF,(1)求△AFF的周长;12(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP?QP的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记?OAB与?MAB的面积分别为S,S,若S?3S,【解析】(1)由椭圆的标准方程可知,a2?4,b2?3,c2?a2?b2?1,所以△AFF的周长?2a?2c?(2)由椭圆方程得,设,则直线方程为2,椭圆的右准线为:x??4,A(1,)P(t,0)APy?(x?t)21?tc34?t34?t所以直线AP与右准线的交点为Q(4,?),OP?QP?(t,0)?(t?4,0??)?t2?4t?(t?2)2?4?4,21?t21?t当t?2时,(OP?QP)??(3)若S?3S,设O到直线AB距离d,M到直线AB距离d,则?|AB|?d??|AB|?d,即d?3d,21122221212020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第17页(共24页):..3339A(1,),F(?1,0),可得直线AB方程为y?(x?1),即3x?4y?3?0,所以d?,d?,21415259由题意得,M点应为与直线AB平行且距离为的直线与椭圆的交点,59|m?3|9设平行于AB的直线l为3x?4y?m?0,与直线AB的距离为,所以?,即m??6或12,59?1653当m??6时,直线l为3x?4y?6?0,即y?(x?2),4?3?2y?(x?2)x????x?2?M?4?7212联立?,可得(x?2)(7x?2)?0,即?M或?,所以M(2,0)或(?,?).x2y2?y?01277???1N?y??????43????M73当m?12时,直线l为3x?4y?12?0,即y?(x?4),4?3y?(x?4)??421联立?,可得x2?18x?24?0,△?9?(36?56)?0,所以无解,x2y24???1????43212综上所述,M点坐标为(2,0)或(?,?).77【评注】本题考查椭圆的定义,向量的数量积,直线与椭圆相交问题,解题过程中注意转化思想的应用,.(16分)已知关于x的函数y?f(x),y?g(x)与h(x)?kx?b(k,b?R)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x).(1)若f(x)?x2?2x,g(x)??x2?2x,D?(??,??),求h(x)的表达式;(2)若f(x)?x2?x?1,g(x)?klnx,h(x)?kx?k,D?(0,??),求k的取值范围;(3)若f(x)?x4?2x2,g(x)?4x2?8,h(x)?4(t3?t)x?3t4?2t2(0?|t|2),D?[m,n]?[?2,2],求证:n?m7.【解析】(1)由f(x)?g(x)得x?0,又f?(x)?2x?2,g?(x)??2x?2,所以f?(0)?g?(0)?2,所以,函数h(x)的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h(x)?2x,经检验:h(x)?2x,符合任意,1x?1(2)h(x)?g(x)?k(x?1?lnx),设?(x)?x?1?lnx,设??(x)?1??,xx在(1,??)上,??(x)?0,?(x)单调递增,在(0,1)上,??(x)?0,?(x)单调递减,所以?(x)?(1)?0,所以当h(x)?g(x)0时,k0,令p(x)?f(x)?h(x),所以p(x)?x2?x?1?(kx?k)?x2?(k?1)x?(1?k)0,得,当x?k?10时,即k?1时,f(x)在(0,??)上单调递增,所以p(x)?p(0)?1?k0,k?1,所以k??1,当k?1?0时,即k??1时,△0,即(k?1)2?4(k?1)0,解得?1?k3,2020年高考数学江苏卷真题+参考答案+详细解析第18页(共24页):..综上,k?[0,3].3t4?2t2?8(3)①当1t2时,由g(x)h(x),得4x2?84(t3?t)x?3t4?2t2,整理得x2?(t3?t)x?0,4(*)令△?(t3?t)2?(3t4?2t2?8),则△?t6?5t4?3t2?8,记?(t)?t6?5t4?3t2?8(1t2),则??(t)?6t5?20t3?6t?2t(3t2?1)(t2?3)?0,恒成立,所以?(t)在[1,2]上是减函数,则?(2)?(t)?(1),即2?(t)7,所以不等式(*)有解,设解为xxx,因此n?mx?x?②当0?t?1时,f(?1)?h(?1)?3t4?4t3?2t2?4t?1,设v(t)?3t4?4t3?2t2?4t?1,3则v?(t)?12t3?12t2?4t?4?4(t?1)(3t2?1),令v?(t)?0,得t?,33当t?(0,)时,v?(t)?0,v(t)是减函数,33当t?(,1)时,v?(t)?0,v(t)是增函数,v(0)??1,v(1)?0,则当0?t?1时,v(t)?0,3则f(?1)?h(?1)?0,因此?1?(m,n),因为[m,n]?[?2,2],所以n?m2?1?7,③当?2t?0时,因为f(x),g(x)为偶函数,因此n?m7也成立,综上所述,n?m7.【评注】本题考查恒成立问题,参数的取值范围,导数的综合应用,解题过程中注意数形结合思想的应用,.(16分)已知数列{a}(n?N*)的首项a?1,?和k为常数,若对一切正整数n,均n1n111有Sk?Sk??ak成立,则称此数列为“??k”?1nn?1(1)若等差数列{a}是“??1”数列,求?的值;n3(2)若数列{a}是“?2”数列,且a?0,求数列{a}的通项公式;n3nn(3)对于给定的?,是否存在三个不同的数列{a}为“??3”数列,且a0?若存在,求出?的取