25.7相似多边形与位似图形.doc

主备人:刘荣格数学备课组
2014年10月10日
【学****目标】
1、了解相似多边形的含义。
2、了解位似图形及有关概念,能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。
【知识要点】
1、相似多边形的定义。
2、相似多边形的性质。
3、位似图形的定义。
4、位似图形的性质。
5、位似图形性质的应用。
【重点、难点】
重点:相似多边形及位似图形的性质。
难点:相似多边形及位似图形的性质应用。
【知识讲解】
1、相似多边形:
两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。
提示1:只有边数相等,各对应角相等,且各边对应成比例的多边形才相似。
例如:两个正方形,各对应角都是90°,且各边对应成比例,所以两个正方形是相似多边形。
提示2:相似多边形的读、写法,在表示两个多边形相似时,要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。
2、相似比:
相似多边形对应边的比叫相似比,多边形的相似比是有顺序的。
例如:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB与A′B′是对应边,若,则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1;反之,四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶3。
3、相似多边形的性质:
(1)对应边成比例;
(2)对应角相等。
如:五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′,∠E=∠E′,且。
(3)相似多边形的周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。
(5)相似多边形中,对应的三角形相似,其相似比等于原相似多边形的相似比。

4、位似图形的定义:
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,此时,两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
(1)位似图形是针对两个相似图形而言的。
(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。
(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,而相似图形不一定构成位似图形。
5、位似图形的性质:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
(2)两个位似多边形一定相似,它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比,它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。
【例题讲解】
例1:下列多边形,一定相似的是( )
A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
分析:根据相似多边形的定义,两个矩形只能满足对应角相等,对应边不一定成比例;两个菱形只满足对应边成比例,而对应角不一定相等;两个正方形的对应边成比例,对应角都是90°。
答案:C
例2:如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB=18,A′B′=4,B′C′=6, ∠B=77°,∠C=83°,∠A′=115°,求BC的长度和∠D′的大小。

解:∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,
∴,即,解得BC=27,
∴∠B′=∠B=77°,∠C′=∠C=83°,
∴∠D′=360°-∠A′-∠B′-∠C′=85°。
例3:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,它们的对角线分别交于点O、O′,那么ΔOAB与ΔO′A′B′相似吗?为什么?

解:ΔOAB∽ΔO′A′B′,因为:
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,
∴ΔABD∽ΔA′B′D′,ΔABC∽ΔA′B′C′,
∴∠2=∠4,∠1=∠3,
∴ΔOAB∽ΔO′A′B′。
例4:如图,已知四边形ABCD及四边形A′B′C′D′中,∠B=∠B′,∠D=∠D′, ,那么,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′必相似。试说明理由。

分析:要说明四边形ABCD∽A′B′C′D′,只需说明∠A=∠A′,∠C=∠C′就可以了,我们可构造相似三角形来完成∠A=∠A′,∠C=∠C′。
解:连结AC、A′C′,
∵∠B=∠B′,,
∴ΔABC∽ΔA′B′C′,
∴∠1=∠1′,∠2=∠2′,
同理,ΔADC∽ΔA′D′C′,
∴∠3=∠3′,∠4=∠4′,
∴∠1+∠3=∠1′+∠3′,∠2+∠4=∠2′+∠4′,
即∠BAD=∠B′A′D′,∠BCD=∠B′C′D′,
又因,
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。
例5:四边形ABCD∽四边形A′B