d7 3 偏导数与全微分.ppt

7. 3
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7. 3. 1 偏导数的定义与计算
偏导数与全微分
第7章
7. 3. 3 全微分
7. 3. 2 高阶偏导数
7. 3. 1 偏导数的定义与计算
引例:
研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度。
就是将振幅函数
中的 x 固定于
求
二阶导数。
x0 处,
对于变量 t 的一阶导数与
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表示 t 时刻点 x 偏离平衡位置的距离,
弦在点
考查
以
处的振动速度与加速度,
值为函数
设函数
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注意:
若函数
关于变量 x 在点
处可导,
在点
处关于变量 x 的偏导数(值)。
记作:
则称其导数
函数
在点
处关于变量 x 的偏导数(值),
实质上是一元函数
在点
处的导数(值),
即
(收敛!)
:
完全类似地,可定义函数
若函数
其中,两个偏导数便是
定义在区域 D 内的偏导函数,
记为:
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则称函数
即:
在点
处关于变量
y 的偏导数(值);
若函数
在点
处分别关于自变量 x 、 y 均
可导,
在点
处可导;
在区域 D 内每一点
处均可导,
在区域 D 内可导;
则称函数
该偏导函数也常简称为偏导数,
(收敛!)
同理, 三元函数
2. 偏导数的计算
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y 和 z 的偏导数分别为:
在计算多元函数关于某一自变量偏导数的过程中,视其余
自变量为常数,用一元函数的求导法则对该变量进行求导。
在点
处关于变量 x、
例 1 . 求函数
解法 1:
在点(1 , 2) 处的偏导数。
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解法 2:
由定义
同理得:
例2 . 设
证:
例3 . 求
的偏导数。
解:
求证:
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由变量位置的对称性得:
偏导数记号是一个
例 4.
求证:
证:
说明:
(R 为常数) ,
不能看作
分子与分母的商!
此例表明,
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整体记号,
已知理想气体的状态方程为:
3. 二元函数偏导数的几何意义:
●
是曲线
在点 M0 处的切线
对 x 轴的斜率,
是曲线
在点M0 处的切线
对 y 轴的斜率,
该切线的方向向量为:
该
切线的方向向量为:
多元函数若在某点处可导,但在该点不一定连续
显然
例如,
注意:
(即一元函数的可导必连续对多元函数不再成立)。
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在前面已证 f (x , y) 在点(0 , 0)处发散,当然不连续!