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第三章傅里叶变换
引言


周期信号的傅里叶变换
卷积定理
傅里叶变换的基本性质
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
典型非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换
典型周期信号的傅里叶级数
周期信号的傅立叶级数分析
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§ 引言
信号具有时域特性和频域特性,本章讨论信号的频域特性,其目的一是掌握信号频域特性的分析,二是为系统的频域分析方法作准备。
傅立叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史,涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。
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1807年,傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时,成谐波关系的正弦函数是非常有用的,另外,他还断言“任何”周期信号都可以用这样的级数来表示!
,在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表示。
傅立叶得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信号的加权和,而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。
当今傅立叶分析法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。
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傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
意义:
,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,为不同信号之间进行比较提供了途径。
2. 从系统分析角度,已知单频正弦信号激励下的响应,利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量通过系统后,是衰减还是增强一目了然。
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周期信号的傅里叶级数分析
三角函数形式的傅里叶级数
指数函数形式的傅里叶级数
函数的对称性与傅里叶系数的关系
傅里叶有限级数与最小方均误差
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一、周期信号三角函数形式的傅里叶级数
物理意义:周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐波分量之和。
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注意:1. 一般要单独计算;
,如
可能有频率分量。
3. 、是n的函数,它一定不含有t。
(对于一个确定的n来说,它是个常数不是t的函数)
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周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件:
(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即
等于有限值.
(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个.
(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个.
狄利克雷(Dirichlet)条件
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周期信号的另一种三角函数正交集表示
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