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线代习题课习题.doc


文档分类:研究生考试 | 页数:约21页 举报非法文档有奖
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第1讲计算行列式的若干基本方法
,,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,,我们将介绍一些常用的方法.
化为已经熟悉的行列式来计算
我们已经知道上(下)三角行列式、范德蒙行列式以及形如
,
,则不难求出所给行列式的值.
为了叙述简便,仍用记号表示互换行列式的第i行(列)与第j行(列);用表示将行列式第j行(列)的k倍加到第i行(列);用表示将第i行(列)乘以非零的数c.
例1 计算行列式
.
解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算.
计算n阶行列式
.
解这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,,3,…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1.
计算阶行列式
.
其中.
解这个行列式的每一行元素的形状都是,0,1,2,…,,按升幂排列,且次数之和都是n,又因,若在第i行(1,2,…,n)提出公因子,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即
降阶法
当一个行列式的某一行(列)的元素有比较多0时,利用行列式的依行(列)展开定理将它化为较低阶的行列式来计算.
计算n(n≥2)阶行列式
.
解按第一行展开,得
.
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到
.
拆项法
拆项法是将给定的行列式的某一行(列)的元素都写成同样多的和,然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和.
计算n(n≥2)阶行列式
.
解将按第一列拆成两个行列式的和,即
.
再将上式等号右端的第一个行列式第i列(,3,…,n)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子,则可得到
当n≥3时,.
当时,.
计算n阶行列式
,().
解将第一行的元素都表成两项的和,使变成两个行列式的和,即
将等号右端的第一个行列式按第一行展开,得:
.
这里是一个与有相同结构的阶行列式;将第二个行列式的第一行加到其余各行,得:
于是有
(1)
另一方面,如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和:
仿上可得:
(2)
将(1)式两边乘以,(2)式两边乘以,然后相减以消去,得:
.
加边法
在给定的行列式中添上一行和一列,得加边行列式,建立新的行列式与原行列式的联系,以求得结果.
计算n(n≥2)阶行列式
,
其中.
解先将添上一行一列,变成下面的阶行列式:
.
显然,.将的第一行乘以后加到其余各行,得
.
因,将上面这个行列式第一列加第i(,…,)列的倍,得:

.
递推法
递推法是根据行列式的构造特点,利用行列式的性质,将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的,但阶数较低的行列式之和,然后利用这种关系式计算原行列式的值,,在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式,本讲的例6也利用了递推关系式.
使用递推法计算行列式,一般分三个步骤,首先找出递推关系式,然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确.
计算n阶行列式
.
,得:
这里与有相同的结构,但阶数是的行列式.
现在,,只需反复进行代换,得:
因,故
.
最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的.
当时,,
可知,对n阶的行列式结果也成立.
根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.
证明n阶行列式
.
证明按第一列展开,得
.
其中,等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式,记作;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式,,就有递推关系式:
.
因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的.
当时,,结论正确.
当时,,结论正确.
设对的情形结论正确,往证时结论也正确.

可知,对n阶行列式结果也成立.
根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.
华南理工大学期末考试(A卷)《 2007线性代数》试卷
填空题(共20分)
设A是矩阵, 是维列向量,则方程组无解的充分必要条件是:
已知可逆矩阵P使得,则
若向量组α=(0,4,t),β=(2,3,1),γ=(t,2,3)的秩为2,则t=
若A为2n阶正交矩阵,为A的伴随矩阵,

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  • 时间2018-02-17