曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘.ppt

一、曲线的凹凸性与拐点
二、曲线的水平渐近线
和垂直渐近线
第3节曲线的凹凸性
与拐点函数图形的描绘
三、函数图形的描绘
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如图所示,曲线弧ABC部分是向下弯曲的,这时曲线位于切线的下方;而曲线弧CDE部分是向上弯曲的,曲线位于切线的上方.
一、曲线的凹凸性与拐点
C
A
y

E
B
D
x
O a c b
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定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称这条曲线弧是凹的;
如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称这条曲线弧是凸的.
定理设函数 f(x) 在(a, b)内具有二阶导数.
(证明从略)
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例1
判断曲线 y=x3 的凹凸性.
解
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定义连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,称为曲线 y=f(x)的拐点.
分析:由上述定理可知,
以判断曲线的凹凸. 如果
,二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点.
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判定曲线 y=f(x)的拐点的一般步骤:
(1)确定y=f(x)的定义域.
(2)求f (x),f (x),令f (x)=0,求出所有
可能拐点x0.
(3)考察 f (x)在每个可能拐点 x0左右两侧的符
号,如果 f (x)的符号相反,则点(x0 , f(x0))
是拐点,否则就不是.
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例2 求曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸区间与拐点.
解(1) 定义域为(, ).
(2) f(x) = 3x2 - 12x + 9,
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 ),
令 f (x) = 0,得 x = 2.
(3)当 x (, 2) 时,
f (x) < 0,此区间为凸区间.
当 x (2, + ) 时,
f (x) > 0,此区间是凹区间.
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例3 求曲线 f (x) = (2x-1) 4+ 1 的凹凸性,并求拐点.
解(1) 定义域为(, ).
(2) f(x) = 8(2x-1)3 ,
f (x) = 48(2x-1)2 ,
令 f (x) = 0,可得 x = 1/2.
(3) 因为当x≠1/2时,f (x)>0 ,所以该曲线在整个定义区间内都是凹的,曲线没有拐点.
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要想完整地描绘出函数的图形,除了要知道其升降,凹凸性,极值和拐点等性态外,还须了解曲线无限远离坐标原点时的变化状况,,我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线.
二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线
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引例
(如图所示)
y
x
O
y = arctan x
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