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极限与连续的62个典型习题.doc

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极限与连续的62个典型****题解记,则有
,.另一方面
.
因为,,知
,其中.
例如.解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
. 解
解(变量替换法)令,则当时,于是,
原式.解(变量替换法)令,
原式
. 为了利用重要极限,对原式变形
..
而
.故不存在。∵原式,其中,. ∴上式极限等于0,即.(2).
因为,, 所以.
(3). 原式.解原式
..解首先,∴
原式,
∴,而.. 解原式
.解∵,,原式= 0.证(令)
.解原式.原式
.证设,此初等函数在数轴上连续,在上必连续。∵而
若,则就是方程的一个正根。
若,则由零点存在定理可知在内至少存在一点,
故方程至少有一正根,且不大于.解原式.证取使得当时有
即亦即于是递推得
从而由两边夹准则有证首先,当是连续的。同理,当
也是连续的。而在分段点处

故证∵,而
.由两边夹定理知,原式成立. 试证存在,并求极限值。
证
故
由题设
由于
故单调有下界,故有极限。设
由解出(舍去)。解显然有上界,有下界
当时
即假设则
故单增。
存在。设则由得即
(舍去负值)。当时,有
用完全类似的方法可证单减有下界,同理可证解不是单调的,但单增,并以3为上界,故有极限。设单减,并以2为下界,设在等式两边按奇偶取极限,得两个关系,解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等,因此
的极限存在,记于是故有解出(舍去负值)证显然假设则由,可解出(舍去)。下面证明收敛于由于
,
递推可得
由两边夹可得故(1)存在;(2)当时,当时,
证显然有又
单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时,归纳假设则而,有因此时即时)。
当时,由的单减性便知即当时,即
(当时)。证收敛,设故必有界。设
因此而变量替换求极限法
(为求有时可令而)解令则因此

解令且当时故原式

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