重庆大学土木工程弹性力学-04.ppt

第四章平面问题的极坐标解答
要点:
(1)极坐标中平面问题的基本方程:
——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。
(2)极坐标中平面问题的求解方法及应用
应用:
圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
§4-4 应力分量的坐标变换式
§4-5 轴对称应力与相应的位移
§4-6 圆环或圆筒受均布压力压力隧洞
§4-7 圆孔的孔边应力集中
§4-8 楔形体的楔顶与楔面受力
§4-9 半平面体在边界上受法向集中力
§4-10 半平面体在边界上受法向分布力
主要内容
前言
对于由径向线与圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形的弹性体,宜用极坐标求解。采用极坐标表示,这些形状的弹性体体现边界条件的表示和方程的求解得到较大的简化。
极坐标和直角坐标都是正交坐标系,但两者有明显的差别:在直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向, x和y坐标的量纲相同,都是L。在极坐标中,坐标线( =常数)和坐标线( =常数)在不同的点有不同的方向。坐标线是直线,而坐标线为圆弧曲线; 坐标的量纲是L,而坐标为量纲为一的量。
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
1. 极坐标中的应力及微元体
x
y
O
P
A
B
C
体力:
应力:
PA面
PB面
BC面
BC面
应力正向规定:
正应力——拉为正,压为负;
剪应力——的正面上,与坐标方向一致时为正;
的负面上,与坐标方向相反时为正。
2. 平衡微分方程
考虑微元体平衡(取厚度为1):
将上式化开:
(高阶小量,舍去)
x
y
O
P
A
B
C
两边同除以:
两边同除以,并略去高阶小量:
x
y
O
P
A
B
C
——剪应力互等定理
于是,极坐标下的平衡方程为:
(4-1)
方程(4-1)中包含三个未知量,而只有二个方程,是一次超静定问题,需考虑变形协调条件才能求解。
x
y
O
P
A
B
C
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程(位移定义)
x
y
O
P
A
B
(1) 只有径向变形,无环向变形。
径向线段PA的相对伸长:
(a)
径向线段PA的转角:
(b)
线段PB的相对伸长:
(c)
环向线段PB的转角:
(d)
x
y
O
P
B
A
径向线段PA的相对伸长:
(a)
径向线段PA的转角:
(b)
环向线段PB的相对伸长:
(c)
环向线段PB的转角:
(d)
剪应变为:
(e)