微分方程 复习指导.doc

高等数学下册第一章

 
内容提要:
 
第9章微分方程
内容提要

:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程.
:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线).
:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解.
:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件.
:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解.


方程类型
标准形式
求解方法
变量可分离
齐次型方程
令,代入得
,再分离变量
一阶线性微分方程
方法一:常数变易法
方法二:公式法
贝努利方程
令化为一阶线性方程
后再求解

(1)可降阶的高阶微分方程.
典型形式
求解方法
两边经过次积分即可
(不显含未知函数)
令
得为一阶微分方程,再求解
(不显含自变量)
令
得为一阶微分方程,再求解
(2)二阶线性微分方程的解结构
记二阶线性微分方程(1)
对应的齐次方程为(2)
若为(1)的一个特解,为(2)的两个线性无关的特解,则
为(2)的通解
为(1)的通解.
注:对于阶线性微分方程的解结构也有类似结论.
(3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法
(3)
首先写出对应于该方程的特征方程

解此方程,求出两特征值,根据的不同情形按下表写出通解.
通解
两个不相同的实根
两个相的实根
一对共轭复根
(4) 阶常系数线性齐次微分方程的解法
以上结论可推广至阶常系数线性齐次微分方程
(4)
其中为常数.
根据特征方程
的根的四种情况,分别写出对应的解:
a) 为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解
b) 为特征方程的重实根, (4)有相应的个解
c) 为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解
d) 为特征方程的重共轭复根,(4)有相应的2个解

若记以上求出的个解为,则(4)的通解就是
(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
(5)
其中为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解,再求出(5)的一个特解,则(5)的通解为
而的求法如下:
当为某些特殊类型函数时,用待定系数法求.
a) ,其中为常数,为的次多项式
则可设(5)的特解为(6)
其中
(6)代入(5)比较系数可求出,从而求出.
b)
其中均为常数, 分别为次, 次多项式.
则(5)的特解可设为
(7)
其中
为次多项式,
将(7)代入(5)比较同类项系数可求出,