2017-2018学年高中数学人教B版必修3教学案：第一章 1.3　中国古代数学中的算法案例含解析.doc

预****课本P27~32,思考并完成以下问题
(1)如何求两个数的最大公约数?


(2)秦九韶算法的原理是什么?



1.“更相减损之术”
更相减损之术就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成一对新数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差和较小的数相等,此时相等的两数便为两个原数的最大公约数.

割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的方法.

把一元n次多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写:
P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,
令vk=(…(anx+an-1)x+…+an-(k-1))x+an-k,
则递推公式为其中k=1,2,…,n.
这样求一元n次多项式P(x)的值就转化为求n个一次多项式的值,这种求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法.
,需做减法的次数为( )


解析:选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
( )


解析:选D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75),所以225与150的最大公约数是75.
(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-,用秦九韶算法求f(-2)等于( )
A.- B.
C. D.-
解析:选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-,∴f(-2)=-.
,因而得到的圆周率总是________π的实际值.
解析:用割圆术法求出的是π的不足近似值.
答案:小于
求最大公约数
[典例] 求261和319的最大公约数.
[解] 319-261=58,
(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29),所以319与261的最大公约数是29.
“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤
第一步,给定两个正整数m,n(m>n).
第二步,计算m-n所得的差k.
第三步,比较n与k的大小,其中大者用m表示,小者用n表示.
第四步,若m=n,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
[活学活用]
,需做减法的次数是________.
解析:(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9),故共进行了6次减法运算.
答案:6
.
解:法一:378-90=288,
288-90=198,
198-90=108,
108-90=18,
90-18=72,
72-18=54,
54-18=36,
36-18=18,
∴378与90的最大公约数是18.
法二:378=90×4+18,
90=18×5,
∴378与90的最大公约数是18.
用秦九韶算法求多项式的值
[典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值.
[解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.
而x=2,所以有
v0=8,
v1=8×2+5=21,
v2=21×2+0=42,
v3=42×2+3=87,
v4=87×2+0=174,
v5=174×2+0=348,
v6=348×2+2=698,
v7=698×2+1=1 397.
所以当x=2时,多项式的值为1 397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值.
解:因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1,