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构造因式处理一类三元问题
江苏省常熟市中学査正开 215500 ********** zhazhengkai3@
【问题】且,求的值域
这是一道美国数学月刊的征解题,《数学通报》和《中学数学月刊》都刊登了有关作者的初等解法。笔者经过探索,得出了更简捷的解法,并由此归纳出此类问题的统一处理方法。
解:设,且,,
则,,
又,
=
设,,,则
,当时,
在上单调递增,
当中有一个趋于1,另两个趋于0时,趋于1
且当时,,故所求值域为。
上述解法的关键在于构造因式和用均值不等式把
,,三者关系有机结合起来,从而得到问题的突破。这一方法有普遍的适用性。
例1:已知为正实数,,求证:(第20届伊朗奥林匹克)
证明:由得,……①
考虑
由题设条件可知均为正
即……②
①+②并设得,即
原不等式成立。
例2:《数学通报》1830问题(文【1】) 已知,,求证:
证明:原不等式
考虑构造因式证明……(*)
①若中只要有一个为,(*)式必成立;
②若均小于,则由均值不等式知(*)式也成立;
③若中仅有一个大于,(*)式显然成立;
④若中有两个大于,不妨设,则
=
而
,从而原不等式得证。
例3:《中等数学》奥林匹克问题高274 文【2】
已知正实数满足,求证:
分析:这是一道极富挑战性的难题,所给等式的左边利用均值不等式不难转化为含有
因子的式子,故如何求出的最大值成为本题的题眼。
已知等式
通过换元即可化为前面所举的三元问题,从而采用同样的方法(构造因式法)加以解决。
证明:由得,
设,则且
设,则……①
构造因式
……②
①+②得:,即
,
利用均值不等式
同理:
当且仅当时,取
综上所述有关含有,,的三元问题可以通过构造因式法来加以解决。
下面练****题,可仿此给出证明,有兴趣的读者不妨可以一试。
1. a,b,c∈且+abc=4,求证0<ab+bc+ca-abc≤2(2001年美国数学竞赛题)
2. 已知非负实数满足求证:(第25届国际数学奥林匹克试题)
3. 设a,b,c∈且a+b+c=