空间角练习题.doc

空间角练****题
1二面角α-l-β内有一点P,若P到面αβ的距离分别为5,8且P在面αβ内的射影的距离为7,则二面角α-l-β的度数是
解:设P在平面α,β的内的射影分别为A和B,
过A作α与β交线的垂线,垂足为C,连接BC,
∵PA=5,PB=8,AB=7,
∴cos∠APB= 1/2即∠APB=60°
而∠ACB即为二面角α-l-β的平面角,
∵∠ACB与∠APB互补,
∴∠ACB=120°,
三垂线定理及其逆定理
定理:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
逆定理:三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2在60°的二面角α-l-β中,A∈α,B∈β,已知A,B到l的距离分别为2和4,且AB=10,A,B在l的射影分别为C,D
求:(1)CD的长度;
(2)AB和棱l所成的角.
分析:(1)要求CD长,应将CD放在三角形中,过点C作BD的平行线,取CE=BD=4,根据余弦定理可求出AE的长,最后在直角三角形AEB求出BE长,而四边形BECD为矩形,即可求出所求;
(2)将l平移到BE,从而AB和棱l所成的角为∠ABE,然后在直角三角形AEB中,求出此角即可.
解答:解:(1)过点C作BD的平行线,取CE=BD=4,
∵AC⊥l,而CE⊥l,则∠ACE=60°
根据余弦定理可知cos∠ACE= 4+16-AE22×2×4
解得:AE= 23
而三角形AEB为直角三角形,则BE= 2
即CD= 2
(2)
∵BE∥l
∴AB和棱l所成的角为∠ABE
在直角三角形AEB中,cos∠ABE= 15
∴os 15.
3如图,正四棱柱中,,点在上且.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
F
H
G
:
依题设知,.
(Ⅰ)连结交于点,则.
由三垂线定理知,. 3分
在平面内,连结交于点,
由于,
故,,
与互余.
于是.
与平面内两条相交直线都垂直,
所以平面. 6分
(Ⅱ)作,垂足为,,
故是二面角的平面角. 8分
,
,.
,.
又,.
.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
所以二面角的大小为. 12分
解法二:
以为坐标原点,射线为轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系.
依题设,.
,
. 3分
(Ⅰ)因为,,
故,.
又,
所以平面. 6分
(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则
,.
故,.
令,则,,. 9分
等于二面角的平面角,
.
所以二面角的大小为. 12分
19.(本小题满分12分)
如下图α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l上的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=.求:
(Ⅰ)直线AB分别与平面α、β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的大小.
:(Ⅰ)如图,连接A1B,AB1.
∵α⊥β,α∩