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(2010全国卷2理数)(19)如图,直三棱柱中,,,为的中点,为上的一点,.
(Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小.
(19)解法一:
(I)连接A1B,记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DE∥BF,DE⊥AB1. ………………3分
作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面ABC⊥,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
(II)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,∠CDG=45°
设AB=2,则AB1=,DG=,CG=,AC=.
作B1H⊥A1C1,H为垂足,因为底面A1B1C1⊥1,故B1H⊥⊥AC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.
(2010辽宁理数)(19)(本小题满分12分)
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
证明:
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0).……4分
(Ⅰ),
因为,
所以CM⊥SN ……6分
(Ⅱ),
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
(2010江西理数)20. (本小题满分12分)
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,。
求点A到平面MBC的距离;
求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,
OM⊥,则MO⊥平面,所以MO∥AB,A、B、O、、BO相交于E,则∠=MO=,MO∥AB,MO//面ABC,M、O到平面ABC的距离相等,作OHBC于H,连MH,则MHBC,求得:
OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得:。
(2)CE是平面与平面的交线.
由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.
因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.
,
,
所以,所求二面角的正弦值是.
解法二:取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD,又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点,直线OC、BO、OM为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2),
(1)设是平面MBC的法向量,则,
,由得;由得
;取,则距离
(2),.
设平面ACM的法向量为,,,,则
设所求二面角为,则.
(2010重庆文数)如题(20)图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点是棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.
(2010全国卷1理数)(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,AD
DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.
(2010四川文数)(18)(本小题满分12分)
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;