第11讲直线与圆锥曲线的位置关系.doc

第11讲直线与圆锥曲线的位置关系
【要点精讲】
(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点
直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,:
注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.

设直线l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),
且由,消去y→ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2 -4ac。
则弦长公式为:
d====。
焦点弦长:(点是圆锥曲线上的任意一点,是焦点,是到相应于焦点的准线的距离,是离心率)。
【典例解析】
题型1:直线与椭圆的位置关系
:,过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长
,一个焦点为F1(0,)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程
点评:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1(0,)知,c=,,最后解关于a、b的方程组即可
(,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。
点评:本题主要考查椭圆的定义标准方程,直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。
题型2:直线与双曲线的位置关系
例5.(1)过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。
(2)直线与双曲线相交于A、B两点,当为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?
点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条
例5.(1)求直线被双曲线截得的弦长;
(2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程
点评:(1)弦长公式;(2)有关中点弦问题的两种处理方法。
,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范围。
点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值范围往往与判别式的取值建立联系
题型3:直线与抛物线的位置关系
=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.
点评:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.

,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
【命题立意】:,其中还隐含着分类讨论的思想,