O第4章 向量空间.ppt

O第4章_向量空间第四章
向量空间Rn
§ 欧氏空间Rn
§ 向量组的秩
§ 向量组的线性相关性
§ 向量及其线性组合
§ 向量空间
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§ 向量及其线性组合
三维空间的向量: 有向线段。
建立标准直角坐标系后,
它由一点 P 或一个三元数组(x,y,z) 唯一确定。
我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。
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建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
由于解线性方程组等实际的需要,我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量,向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。
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定义
n 个数组成的有序数组
称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量.
分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为. 以后如无特殊说明, 向量均指实向量.
约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.
向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.
或
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由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组. 如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.
例如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组.
再如: 解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组.
定义
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观察如图三维空间中的向量, 必有
不可能
再观察下面方程组增广矩阵的行组
有如下关系
这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.
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向量是矩阵的特例,向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
在Rn中的向量满足以下8条规律:
其中 a、b、g 都是n维向量,k、l为实数。
向量的线性运算
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解
,求
使
例1
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对于向量组, 表达式
则称向量可由向量组 A 线性表示.
通常写成
称为向量组 A A 的一个线性组合, 即存在数使
向量的线性表示
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1°零向量可由任一组向量线性表示。
中每个向量都可由向量组本身
2°向量组
线性表示,
注意
3°任一n元向量
都可由n元单位向量组
线性表示,即