2014武忠祥高数基础班讲义(人信).doc

第一章函数极限连续
一、函数
1 函数的概念(定义域,对应法则,值域)
2 函数的性态:
单调性奇偶性周期性有界性
有界性:
定义:若使得恒有则称在上有界。
3 复合函数与反函数(求复合函数和反函数)
4 基本的初等函数与初等函数
1)基本初等函数:
将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。了解它们的定义域、性质、图形.
2)初等函数:
由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.
常考题型:
1。函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定;
2。复合函数;
【例1】是
(A)有界函数. (B)单调函数. (C)周期函数(D)偶函数.
【例2】已知则的定义域为
【解】;
【例3】设则
【解】
二、极限
1 极限的概念
1) 数列极限:
:,当时,恒有.
2)函数极限:
(1): ,当时,恒有
.
类似的定义,。

(2):,当时,恒有
。
左极限:(或)
右极限:(或)
几个值得注意的极限:
,
2 极限的性质
1)局部有界性若存在,则在某去心邻域有界。
2)保号性设
(1) 如果,则存在,当时,.
(2) 如果当时,,那么.
3)有理运算性质若.
那么:
两个常用的结论:1)存在,
2)
4)极限值与无穷小之间的关系;
. 其中
注:数列极限也有以上对应的四条性质。
3 极限的存在准则
1)夹逼准则: 若存在,当时,,且则
2)单调有界准则:单调有界数列必有极限。
4 常用的基本极限
, ,
, ,

5 无穷小量
1)无穷小量的概念: 若,则称为时的无穷小量.
2) 无穷小的比较: 设,且.
(1)高阶: 若; 记为
(2)同阶: 若;
(3)等价: 若;记为
(4)无穷小的阶: 若,称是的阶无穷小.
3)常用的等价无穷小: 当时,
,
4)等价无穷小代换
若
则
5)无穷小的性质:
(1)有限个无穷小的和仍是无穷小.
(2)有限个无穷小的积仍是无穷小.
(3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小.
6 无穷大量
1) 无穷大量的概念: 若,称为时的无穷大量;
2)常用的一些无穷大量的比较
(1)当时

其中
(2)当时

其中
3)无穷大量与无界变量的关系: 无穷大量无界变量
4)无穷大量与无穷小量的关系:
在同一极限过程中,如果是无穷大,则是无穷小;反之,如果是无穷小,且则是无穷大;
常考题型:
1)求极限;
2)无穷小量阶的比较;
1 求极限:
方法1 有理运算
【例1】. ()
【例2】
方法2 基本极限
【例1】,其中
【例2】极限
(A) 1. (B) . (C) . (D) .
方法3 等价无穷小代换
【例1】
方法4 夹逼原理
【例1】( )
【例2】( 3 )
【例3】其中
方法5 单调有界准则
【例4】设求极限. ( )
2 无穷小量阶的比较
【例1】当时,与是等价无穷小,
则
【例2】设当时是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数等于( B )
(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.
【例3】(2009数一、数二、数三)当时,与
是等价无穷小,则( )
(A). (B).
(C). (D).
三、连续
1 连续的定义: 若(或)则称在处连续。
左连续: 若则称在处左连续。
右连续: 若则称在处右连续。
连续左连续且右连续
2 间断点(在某去心邻域有定义,但在处不连续)
1)第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点: 左极限=右极限
跳跃间断点: 左极限右极限
2)第二类间断点: 左、右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点: 时,
振荡间断点: 时,振荡
3 连续函数性质
1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合仍为连续函数;
2) 基本初等函数在其定义域内是连续的;
初等函数在其定义区间内是连续的;
3)有界性:若在上连续,则在上有界。
4)最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值。
5)介值性:若在连续,且,则对与之间
任一数至少存在一个使得
推论:若在上连续,则在可取到介于最小值与最大值之间的任何值.
6)零点定理:若在连续,且,则必,使。
常考题型
1。讨论函数的连续性及间断点的类型;
2。有关闭区间上连续函数性质的证明题; .
【例1】已知在处连续,则.
【例2】讨论的连续性并指出间断点类型.
【例3】函数的可去间断点的个数为